Matematické Fórum

Skrytý text:
První trojmístné číslo dělitelné sedmi je 105, poslední před 200 je 196. Když mám nějaké číslo dělitelné sedmi, třeba právě to 105, tak 103*104*105 i 104*105*106 i 105*106*107 dávají to, co hledáme, tedy ke každému číslu mezi 100 a 200 dělitelnému sedmi lze přiřadit tři čísla tvaru n^3-n, která jsou sedmi dělitelná. Dále (196-105)/7+1 je 14, tedy odpověď je 14*3=42.

Poznámka 1: Podstatně jsme využili toho, že nejmenší trojciferné číslo ani 200 není dělitelné sedmi. Kdybychom totiž hledali to stejné do hranice třeba 700, museli bychom neuvažovat součin 699*700*701 pro n=701.

Poznámka 2: Dále jsme využili toho, že n-1,n,n+1 se "neprotíná" s následující trojicí, kde alespoň jedno číslo je dělitelné sedmi. Jinak by totiž neplatilo, že každému číslu ze zadaného intervalu lze přiřadit tři různá unikátní čísla tvaru n^3-n. Jako příklad, snad ne moc matoucí, uvažme modifikovanou úlohu, kde bychom hledali čísla tvaru n^5-5n^3+4n = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) opět s n mezi 100 a 200 dělitelná sedmi. Tam bychom totiž například n=109 započítali hned třikrát: Jednou kvůli 105*106*107*108*109, jednou kvůli 108*109*110*111*112 a jednou kvůli 109*110*111*112*113 -- násobky sedmi jsou 105 a pak 112.