Matematické Fórum

Luco · 06. 02. 2011 10:04

Zdravím, prosím o pomoc s touto limitou posloupnosti. Já bych odhadoval, že limitu nemá, že stále osciluje, ale WolframAlpha mi dal výsledek 1/3. Nevěděl by někdo postup?

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(-2)^n+3^n}{(-2)^{n+1}+3^{n+1}} = \frac13$

Tychi · 06. 02. 2011 10:09

Zkus ve jmenovateli i čitateli vytknout (a pak zkátit) $3^n$

Luco · 06. 02. 2011 10:22

dostanu toto:

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(\frac{-2}{3})^n+1}{-2\cdot(\frac{-2}{3})^n+3}$

Luco · 06. 02. 2011 10:29

je možné že

$\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{-2}{3})^n = 0$ ??

claudia

Luco napsal(a):
dostanu toto:

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(\frac{-2}{3})^n+1}{-2\cdot(\frac{-2}{3})^n+3}$

Perfektní, teď to převeď na podíl limit (věta o aritmetice limit).

Luco napsal(a):
je možné že

$\lim_{n\rightarrow\infty}(\frac{-2}{3})^n = 0$ ??

Ano, to se dá dokázat i přímo z definice. Nebo možná máte dokázánu nějaku větu o limitě geometrické posloupnosti.

Luco · 06. 02. 2011 11:37

Děkuji pěkně za radu, takže vyjde v čitateli 0 + 1 a ve jmenovateli -2*0 + 3, takže výsledek je ona 1/3.

djsipic

↑ claudia:

ahoj můžu vědět jak se ten příklad převádí na podíl limit? díky :)

co kdybych měl $(1+(2/7)^n)/(7-(2/7)^n)$

claudia

↑ djsipic:

Kdybys měl, co píšeš, tak je to výraz, ne limita. Bez toho, aby to člověk pořádně napsal, se "převod na podíl limit" ukázat nedá. Když to řeknu hodně nekorektně, tak převod na podíl limit se používá tehdy, když počítáš limitu zlomku a jsi schopen spočítat zvlášť limitu čitatele a zvlášť limitu jmenovatele a po vydělení ti dávají smysl (tedy např. nedělíš nulou, nebo nedělíš nekonečno nekonečnem, ...)

Možná by se pro to hodilo i vlastní téma, s příkladem výše to velkou souvislost nemá.

Luco · 08. 03. 2011 08:54

zápis:
$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1+(\frac{2}{7})^n}{7-(\frac{2}{7})^n}$

wolfram

claudia · 08. 03. 2011 09:15

↑ Luco: Neber jméno boží nadarmo, ale proboha, to vypadám, že si neumím sama zapsat limitu? :-) Chtěla jsem kolegu DJ Sipice motivovat k tomu, aby pochopil, že dokud ze zápisu zcela vynechává věci jako $\lim$ , nemůže mu věta o aritmetice limit dávat velký smysl. A taky k tomu, aby založil vlastní téma.

Luco · 08. 03. 2011 10:41 — Editoval Luco (08. 03. 2011 10:42)

↑ claudia:

Velice se omlouvám, nechtěl jsem aby to vyznělo jako doplnění Tvého komentáře, to by mne ani v nejmenším nenapadlo. Chtěl jsem jen doplnit kolegu ↑ djsipic:, respektive mu ukázat, jak by ten zápis měl vypadat a zároveň mu ukázat, jak je Wolfram silný nástroj, který zrovna v tomto případě řeší celý jeho problém.

djsipic

↑ claudia:↑ Luco:

you strašně se omlouvám :D já to psal v rychlosti :/ já vím, že bez lim to nejde :) zapomněl jsem taky připsat, že ten výraz, co mám je to, co mi vyšlo po úpravě :)
tzn. že mám příklad a úpravou jsem dospěl k tomu, co mi tu poskytl Luco (díky ;))

takže mám po úpravě toto:
$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1+(\frac{2}{7})^n}{7-(\frac{2}{7})^n}$

Já jsem chtěl jenom vědět, jak se převádí na podíl limit :/
zkrátka mi nejde do hlavy proč je tohle $(2/7)^n$ rovno 0 ...a výsledek je tedy 1/7

nemohl by mi to někdo vysvětlit, prosím :) každopádně děkuji za vaše reakce :)

jelena · 09. 03. 2011 16:43

↑ djsipic:

Zdravím,

v tomto tématu, označeném za vyřešené, Tebe také nemusí nikdo najit :-) Téma jsem "odznačila". Příště si zakladej nové téma s případném odkazem na další, které nějak souvisí.

Pro vysvětlení chování $$\frac{2}{7}$^n$ pro n k +nekonečnu můžeš zatím uvažovat uvažovat chování exponenciální funkce $f(x)=a^x$ pro základ $a \in (0; 1)$ a pro x k nekonečnu (což bys mohl si vybavit z období SŠ) a doufat, že Tebe zde najde někdo z kolegů, kdo poskytné více odborné vysvětlení.

halogan

↑ djsipic:

Odbornosti moc nerozeseju, jen přidám nějaké poznámky.

1) (2/7)^n není rovno nule, jen se k nule limitně blíží.

2) Proč to tak je... mám tu 4 vysvětlení, která mě teď napadají:

a) Pokud vezmeš hodnotu v absolutní hodnotě menší než 1, tak když ji umocníš na druhou, tak ti vyjde hodnota nižší než ta původní. A tak dále až to je "skoro" nula.

b) Přepiš si to jako 2^n/7^n. Možná jste už brali, že exponenciální funkce (tady je to tedy jen posloupnost) a jejich chování, a tedy víš, že 7^n bude růst k nekonečnu mnohem rychleji než 2^n, proto bude limita nula. Je to takový výpočet intuicí, nic moc rigorózního.

c) Označme si, že výsledek limity (pokud existuje) bude roven A. Pokud by sis limitu přepsal jako limitu funkce (dle věty [...] to tak můžeš učinit) a využil L'Hospitalova pravidla (dle [...] tak můžeš učinit), vyjde ti, že

$A = \lim_{x \to \infty} \frac{\log 2}{\log 7} \cdot $\frac 27$^x = \frac{\log 2}{\log 7} \lim_{x \to \infty} $\frac 27$^x$ ,

což ale platí jen a pouze pokud A = 0 (možná tam bude hrát roli existence, snad ne). [ještě by A mohlo být + nekonečno... to jsem trochu nedomyslel, ale nechám to tu zatím - Edit: to by šlo elimitovat derivací]

d) Takový hezky a rychlý postup, který ale žádá trochu znalostí nekonečných řad. Již ze SŠ víš, že řadu

$\{$\frac 27$^n\}_{n=1}^{+\infty}$

umíš sečíst a že konverguje. A z nutné podmínky konvergence řady víme, že musí platit naše limita :-)

---

Vyber si, co ti chutí. Nejspíš je hromada dalších postupů.

LukasM · 09. 03. 2011 17:15

↑ djsipic:
Opravdu sis pořádně přečetl co ti výše napsala ↑ claudia:? Nebo si stále myslíš, že tvůj problém je v tom, že $$\frac{2}{7}$^n=0$ ? Možná ti to přijde jako zbytečné pruzení, ale uvědomovat si ten rozdíl je důležité.

Že je limita toho výrazu nula by jistě šlo dokázat z definice, ale i intuitivně je to vidět - pokud mám nějaké číslo, a vynásobím ho $\frac27$ , jistě se zmenší. Teď s tím výsledkem udělám to samé, a s tím co vyjde zase to samé... Není to důkaz v pravém slova smyslu, ale alespoň by ti z toho mělo být jasné, že ta limita asi nebude třeba nekonečno. Nebo kolik by to podle tebe mělo být?

djsipic · 09. 03. 2011 18:32

↑ halogan:↑ LukasM:↑ jelena:

děkuji všem za pomoc.. skvěle vysvětleno :)

omlouvám se, že jsem si nezaložil vlastní téma :/ :)

Matematické Fórum

#1 06. 02. 2011 10:04

Limita posloupnosti

#2 06. 02. 2011 10:09

Re: Limita posloupnosti

#3 06. 02. 2011 10:22

Re: Limita posloupnosti

#4 06. 02. 2011 10:29

Re: Limita posloupnosti

#5 06. 02. 2011 10:43 — Editoval claudia (06. 02. 2011 10:45)

Re: Limita posloupnosti

Luco napsal(a):

Luco napsal(a):

#6 06. 02. 2011 11:37

Re: Limita posloupnosti

#7 08. 03. 2011 06:36 — Editoval djsipic (08. 03. 2011 06:39)

Re: Limita posloupnosti

#8 08. 03. 2011 08:20 — Editoval claudia (08. 03. 2011 08:21)

Re: Limita posloupnosti

#9 08. 03. 2011 08:54

Re: Limita posloupnosti

#10 08. 03. 2011 09:15

Re: Limita posloupnosti

#11 08. 03. 2011 10:41 — Editoval Luco (08. 03. 2011 10:42)

Re: Limita posloupnosti

#12 09. 03. 2011 15:46 — Editoval djsipic (09. 03. 2011 15:50)

Re: Limita posloupnosti

#13 09. 03. 2011 16:43

Re: Limita posloupnosti

#14 09. 03. 2011 17:15 — Editoval halogan (09. 03. 2011 17:19)

Re: Limita posloupnosti

#15 09. 03. 2011 17:15

Re: Limita posloupnosti

#16 09. 03. 2011 18:32

Re: Limita posloupnosti

Zápatí