Matematické Fórum

djsipic · 09. 03. 2011 18:38

Ahoj :) mám tenhle příklad a někde jsem se do četl, že u tohoto příkladu limita neexistuje. Nevím ale proč, ví to někdo? Děkuju za pomoc :)

Jenda358 · 09. 03. 2011 18:43

A čemu se má blížit n?

claudia

(Předpokládám, že se jedná o limitu posloupnosti, když je použito n a ne x a není uvedeno, k čemu se má blížit. Pokud jde o limitu funkce, níže psané neplatí.)

Pro začátek se podívej, jak vypadají hodnoty členů posloupnosti. To sice není důkaz, ale pomůže ti pochopit, proč posloupnost nekonverguje. Nejsnazší forma důkazu je pak ukázat, že jsi schopen vybrat dvě podposloupnosti s různými limitami. Kdyby pak i ta původní posloupnost měla limitu, musí se rovnat oběma těm různým číslům, což není možné, takže ji nemá.

djsipic · 09. 03. 2011 19:27

↑ claudia:

hmm chápu to dobře, když mám sinus který nabývá hodnot 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1, atd. ...tzn. že limita neexistuje, jelikož hodnoty této limity se obecně neblíží k jednomu bodu... chápu správně? :/

claudia · 09. 03. 2011 20:49

Chápeš to dobře, ale jako důkaz to nestačí.

djsipic

heh potom by mě zajímalo, jak by ten důkaz mohl vypadat.. hm :/

ale děkuju, aspon že to chápu :)

claudia · 09. 03. 2011 21:44

Všechny důkazy jsou snadné, např. i přímý důkaz, ale některé jsou vyloženě triviální, např. ten s využitím podposloupností, jak naznačuji výše. Jestli máš zájem, mohu naznačit více, ale je třeba hodně snahy ze tvé strany, protože důkazy nejsou tak mechanické jako prostá aplikace početních pravidel.

První otázka tedy zní: pokud posloupnost má limitu, co platí pro limity (z ní) vybraných posloupností?

djsipic

↑ claudia:

Posloupnost má limitu A právě tehdy, když každá z ní vybraná posloupnost má také limitu A.
{a} je posloupnost realnych cisel
lim(a) = A

{bk} je vybrana posloupnost z {a} > pak lim(bk) = A.

může být? :)

claudia · 11. 03. 2011 15:15

Ano, nějakou takovou větu jsem myslela. Dále je to snadné. Stačí zkonstruovat dvě podposloupnosti tak, že jedna bude mít limitu např. -1 a druhá např. +1. Pak můžeš provést důkaz neexistence např. sporem. Pro spor předpokládáš, že původní posloupnost má limitu, kterou označíš A. Pak podle tvé věty i ta první vybraná podposloupnost má limitu A. Takže A=-1. Ale také podle stejné věty i ta druhá podposloupnost má limitu A. Takže A=+1. Takže -1=+1, což je spor.

Zbývá tedy si rozmyslet, jak se konstruuje taková vhodná podposloupnost. Musíš najít správnou posloupnost indexů tak, aby podposloupnost pomocí ní zkonstruovaná vyšla konstantní. Naznačím řešení pro jednu z nich.

Označme původní posloupnost $a_n=\sin$n\frac{\pi}{2}$$ . Hledáme pak takovou rostoucí posloupnost indexů $b_n$ , aby vybraná podposloupnost $a_{b_n}=1\;$\forall n\in\mathbb{N}$$ . Tedy chceme $\sin$b_n\frac{\pi}{2}$=1\Leftrightarrow b_n\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi= \frac{\pi+ 4k\pi}{2} = \frac{\pi$1+ 4k$}{2}= $1+ 4k$\frac{\pi}{2}$ . Takže zvolíme např $b_n=1+4n$ .