Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 09. 03. 2011 23:12 — Editoval rughar (09. 03. 2011 23:15)
n- úhleníky na kouli
Buďte zdrávi. Kdysi jsem vymyslel jednu úložku na aplikaci znalostí Riemannovi geometrie. Zněla takto jednoduše:
Jaký je součet vnitřních úhlů trojúhelníku narýsovaného na kouli? Přičemž "strany" trojúhleníku jsou tvořeny kružnicemi na kouli, které mají střed přesně ve středu koule (poledníky). Nalezněte vhodný vzorec pro součet těchto vnitřních úhlů, když znáte parametry R- poloměr koule, S- obsah trojúhleníku, O- obvod trojúhleníku. S,O sice nedefinují trojúhleník jednoznačně, ale výsledný vztah pro součet úhlů bude závislý jen na těchto parametrech. Obsah trojúhleníku odpovídá povrchu koule, který strany vymezují. Výsledný vztah pro součet úhlů pak bude překvapivě jednoduchý.
Prapůvodně jsem měl řešení k této úloze postavené na složité matematice Riemannovi geometrie, kde jsem si kouli popsal jako Riemannovskou varietu s afinní konexí a po ní paralelně přenášel různé vektory. Avšak dočista mě překvapila jedna studentka SŠ, která vyřešila úlohu pro trojúhleník naprosto jednoduše a elegantně bez jakýchkoliv integrací a znalosti diferenciální gemetrie. Poperete se s úlohou také? I přes to, že to vypadá možná na první pohled docela těžce, tak věřím že vzhledem k řešení si zaslouží být v kategorii středoškolská.
Pokud byste dlouho nevěděli, tak rozklepněte první nápovědu
Fajnšmekři, kteří dají trojúhleník, se mohou pustit do obecného n-úhleníku.
1 + 1 = 1 + 1
... a nebo taky ne
Offline
#2 09. 03. 2011 23:24
- Kondr
- Veterán
- Místo: Linz, Österreich
- Příspěvky: 4246
- Škola: FI MU 2013
- Pozice: Vývojář, JKU
- Reputace: 38
Re: n- úhleníky na kouli
rughar napsal(a):
Kdysi jsem vymyslel jednu úložku na aplikaci znalostí Riemannovi geometrie.
Teď tu byl! Nějakej Girard ... :)
BRKOS - matematický korespondenční seminář pro střední školy
Offline
#3 09. 03. 2011 23:38
Re: n- úhleníky na kouli
↑ Kondr:
WOW! :-D
No tak tohle mě vážně rozsekalo, že někoho dalšího napadla taková zvrácenost jako n-úhleníky na koulích. No toto. A co mě teda rozsekalo ještě víc, že to řešení od té studentky je stejné jako od toho pana Gigarda. No co na to říct. Snad, kdybyste si to chtěl někdo vyřešit tak jak jsem původně zamýšlel přes Riemannovku, že paralelně přenášíte vektor podél hran n-úhleníku a zjistíte, o kolik stupňů se vektor otočí po přenosu do původního bodu. Ale to už je mimo kategorii SŠ :-/
Takhle, když je to profláklý problém, to trochu postrádá asi smysl.
1 + 1 = 1 + 1
... a nebo taky ne
Offline