Matematické Fórum

strife · 11. 03. 2011 16:47

Zdravím, mám matematicky dokázat, že funkce y=|x| v bodě 0 (tedy v bodě zlomu) není spojitá a nemá v tomto bodě ani derivaci. Vím, že aby byla funkce spojitá, musí mít v bodě limitu rovnu funkční hodnotě v tom bodě a musí být ta funkce v tom bodě definována. Dá se to tedy nějak vypočítat přes limitu? A jak? Nebo snad nula nepatří do definičního oboru? Děkuju za pomoc.

claudia

Nechtěla bych lhát, ale jsem přesvědčena, že ta funkce v bodě 0 spojitá je. Limita zleva i zprava je rovna 0 a funkční hodnota taktéž. S derivací je to jinak, protože jednostranné derivace si rovny nejsou (lze je spočítat z definice derivace).

strife · 11. 03. 2011 17:15

tak teď nevím, učitel říká, že v 0 spojitá není... jak to matematicky dokázat?

claudia

A jak u vás definujete spojitost funkce? Pomocí okolí nebo pomocí limit? (Nejlépe sem přepiš definici z přednášky a podíváme se, jak s ní lze pracovat.)

strife · 11. 03. 2011 17:55

definoval ji takto : Funkce je spojitá, pokud má v bodě x0 limitu rovnu f(x0) a pokud je v bodě x0 definována.
ve skriptech máme : Funkce f je spojitá v bodě x0 (náleží R), jestliže f je definovaná v nějakém okolí U(x0) a limita x jdoucí k x0 z f(x) je rovna f(x0).

Pavel · 11. 03. 2011 18:05

↑ strife:

A neříkal Vám učitel, že funkce $|x|$ nemá spojitou první derivaci? To by dávalo smysl.

claudia

No, takže to snadno dokážeme z definice.

Funkce $f(x)=|x|$ je definována pro všechna $\mathbb{R}$ , tedy nutně i v libovolném okolí bodu 0. Tím je splněna první podmínka.

Limitu pro $x\to 0$ spočítáme nepřímo - nejprve limitu zprava, pak zleva, pak ukážeme, že se rovnají a že tedy existuje i oboustranná limita.

$\lim_{x\to 0_+}|x|=\lim_{x\to 0_+} x= 0$

$\lim_{x\to 0_-}|x|=\lim_{x\to 0_-} -x= 0$

tedy

$f(0) = |0| = 0 = \lim_{x\to 0}f(x)$

Takže je splněna i druhá podmínka a funkce je v bodě 0 spojitá.

Samozřejmě funkce f' v bodě 0 spojitá není, protože v něm není ani definována.

strife · 11. 03. 2011 18:19

aha,jasný, takže funkce y=|x| je spojitá i v bodě 0, ale nemá v tomto bodě derivaci, protože derivace zprava se nerovná derivaci zleva... no pokusím se to takhle vysvětlit učiteli, uvidíme, jak se na to bude tvářit :-) děkuju za pomoc

Matematické Fórum

#1 11. 03. 2011 16:47

spojitost funkce absolutní hodnota

#2 11. 03. 2011 16:53 — Editoval claudia (11. 03. 2011 16:54)

Re: spojitost funkce absolutní hodnota

#3 11. 03. 2011 17:15

Re: spojitost funkce absolutní hodnota

#4 11. 03. 2011 17:42 — Editoval claudia (11. 03. 2011 17:42)

Re: spojitost funkce absolutní hodnota

#5 11. 03. 2011 17:55

Re: spojitost funkce absolutní hodnota

#6 11. 03. 2011 18:05

Re: spojitost funkce absolutní hodnota

#7 11. 03. 2011 18:14 — Editoval claudia (11. 03. 2011 18:15)

Re: spojitost funkce absolutní hodnota

#8 11. 03. 2011 18:19

Re: spojitost funkce absolutní hodnota

Zápatí