Matematické Fórum

Asqwer · 09. 03. 2011 20:49

Dobry vecer, potreboval bych poradit s timhle prikladem: Ke zdroji stejnosmerneho napeti 10V je pripojen obvod tvoreny kondenzator o kapacite 20(mikro)F a civkou o indukcnosti 20mH. Pri sepnuten vypinaci prochazi civkou proud 2A. Vypinac rozpojime. Urcete naboj kondenzatoru v okamziku , kdy civkou prochazi proud 1A. Ztraty vznikajici premenou energie na vnitrni energii obvodu neuvazujte.

zkusil jsem sestavit rovnice a poupravit to tak, aby to vypadalo jako v knizce, ale vubec mi to nejde.

vysledek:

rughar · 10. 03. 2011 09:44 — Editoval rughar (11. 03. 2011 22:24)

Už od začátku je podle mě chyba. Vztah by měl vypadat

$\frac{1}{2}CU^2 + \frac{1}{2}LI_2^2 = \frac{1}{2}C(U_e-LI_1)^2 + \frac{1}{2}LI_1^2$

Pravá strana rovnice je počáteční energie a levá strana rovnice je energie spočítaná po rozepnutí obvodu, kdy proutíká proud cívkou I_2 = 1 amper. LI_1 je napětí indukované cívkou. Náboje se pak dopočítá ze vztahu q = CU. Trochu mi není jasné, co je ve tvých vztazích velké Q. A jký význam tam má součin Q * Ue. Možná jsi to myslel dobře. Nebo teda skoro dobře. Výjde nám oboum po úpravě stejný výsledek až nato, že jsi nezapočítal napětí cívky. Mě vyšlo

$q = C\sqrt{(U_e-LI_1)^2+\frac{L}{C}(I_1^2-I_2^2)}$

Po editaci:

Tenhle příspěvek obsahuje chybu!

Mockrát se omlouvám s stydím se. Děkuji Medvídkovi za pohotovou opravu. Možná to tu ponechám jako odstrašující příklad. Tak takto - tedy opravdu ne.

medvidek

↑ rughar:
Nevidím důvod, aby tam byl člen $LI_1$ .
Nesedí ani rozměrově. Ale i kdyby tam bylo $L\frac{\mathrm d I_1}{\mathrm d t}$ ... to bychom z poč. podmínky stejně neznali.

EDIT:
Mimochodem ↑ Asqwer:, to zadání je trošku problematické. Proud, který by protékal cívkou při sepnutém vypínači, by (za předpokladu nulových ztrát) lineárně narůstal. Hodnotu 2A by tedy mohl mít jen v určitém okamžiku. Nejspíš se to má chápat tak, že

... v okamžiku rozpojení vypínače protékal cívkou proud 2A ...

rughar · 11. 03. 2011 23:58

↑ medvidek:

Opravdu by ten proud narůstal lineárně? Za předpokladu, že bych cívku připojil bez kondenzátoru, tak tomu tak skutečně bude. Přiznám se, že si nejsem jistý, co se v takových případech děje. Pokusím-li se to odvodit, tak vím že platí rovnice jednak pro napětí

$U_e = CQ - L \frac{{\rm d}I_L}{{\rm d}t}$ ---(po derivaci)---> $0 = CI_C - L \frac{{\rm d^2}I_L}{{\rm d}t^2}$

I_C, I_L popisují proudy v kondenzátoru respektive v cívce. Dále platí zachování proudu

$I = I_C + I_L$

Vidíme, že pokud je proud I (prouc vycházející ze zdroje) nulový, pak I_C = - I_L a dojde ke kmitům. To však při seplém zdroji pravda není. Máme dvě rovnice na tři neznámé proudy. Ještě nám tu nehrál roli zdroj. Ten zahrneme, když uvážíme, jakou dodává energii obvodu za jednotku času. Pro výkon zdroje bude platit

$U_eI=\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}(\frac{1}{2}LI_L^2+\frac{1}{2}CU_C^2)$

Na pravé straně je časová změna energie. Tuto rovnici budem ještě muset upravit. U_C není dobrá veličina. Není dobrá v tom smyslu, že abychom ji znali v obecném čase t, musíme znát průbeh toho, co se dělo předtím - tedy ji získat jistým integrováním. Výraz tedy musíme upravit vhodně tak, abychom z napětí U_C získali vhodným derivováním proud I_C. Dosáhne se toho tak, že zapůsobením první časové derivace získáme součin U_C a I_C (časová derivace U_C odpovídá změně náboje v kondenzátoru - tedy proud, který do něj vtéká). Rovnici pak vhodně upravíme, aby U_C zůstalo samo na straně rovnice a opět zderivujeme podle času. Tím získáme třetí rovnici a máme připravenou soustavu k řešení. Je potřeba po těhto úpravých znát dostatečný počet počátečních podmínek. Měly by postačit že na začátku byl nulový proud všude a nulový náboj v kondenzátoru.

Proč to všechno takto moc složitě? Celé to vlastně děláme proto, abychom se dopracovali k hodnotě motorického napětí cívky ve chvíli, kdy v ní protékal 2A. Tady je potřba znát (jak správně medvídek podotknul) né jaký je proud protékající aktuálně cívkou, ale jaká je jeho časová derivace. Momentálně mě nenapadá jednodušší plán postupu k vyřešení úlohy s takovýmto zadáním. Což neznamená že neexistuje. Třeba někdo příjde s něčím lepším.

medvidek · 12. 03. 2011 06:34

Výpočet přes zákon zachování energie mi příde poměrně jednoduchý. Prostě se dá do rovnosti energie obvodu na začátku s energií obvodu v obecném čase $t$ :
$\frac{1}{2}C $ U_C(0) $^2 + \frac{1}{2}L $ I_L(0) $ ^2=\frac{1}{2}C $ U_C(t) $^2 + \frac{1}{2}L $ I_L(t) $ ^2$ ,
kde
$U_C(0)=U_e=10V$ ,
$I_L(0)=2A$ ,
$I_L(t)=1A$ .
Zbyde nám tam jediná neznámá $U_C(t)$ , z které dopočítáme náboj na kondenzátoru $Q(t)=U_C(t) C$ .
Tomu odpovídá i výsledek v prvním příspěvku od ↑ Asqwer:
Tímto postupem se dostaneme k výsledku rychle a správně, ale bez znalosti časových průběhů napětí a proudů.

Úlohu lze samozřejmě řešit i složitě :-)
(v následujícím příspěvku)

medvidek · 12. 03. 2011 08:03

↑ rughar:
Přesnější by bylo říct, že proud v cívce (pod konstantním napetím) se bude měnit lineárně s časem. Plyne to ze vztahu (3), který jsem napsal níže. Pokud je zdroj konstantního napětí $U_e$ ideální, na kondenzátoru nezáleží. Počáteční hodnota proudu, resp. polarita napětí určuje, zda bude proud růst, nebo klesat. Může být na začátku například kladný a klesat k nule a pak pokračovat dále do záporných hodnot.
Tato úvaha je ale spíš jen teoretická. Ve skutečnosti by za chvíli nestačil zdroj anebo by shořela cívka.

Nyní to složitější řešení.
Nezávisle na stavu vypínače musí stále platit
(1) $U_C(t)=U_L(t)$ .

Souvisloct mezi napětím a proudem u ideálního kondenzátoru vyjádřuje vztah

(2) $U_C(t)=\frac1C \int_0^t I_c(t) \mathrm d t + U_C(0)$ .

V případě ideální cívky platí vztah
(3) $U_L(t)=L \frac{\mathrm d I_L(t)}{\mathrm d t}$ ,

zde jsme orientaci proudu $I_L$ definovali tak, aby při rozepnutém vypínači platilo $I_L=-I_C$ .

Dosadíme-li vztahy (2) a (3) do (1) a zderivujeme podle času, po jednoduché úpravě dostaneme starou známou diferenciální rovnici pro harmonické kmity LC obvodu.
$I_L^{''}(t) + \omega ^2 I_L (t)=0$ , kde $\omega=\frac1{\sqrt{LC}}$ je kruhová frekvence oscilací.

K řešení této rovnice ale potřebujeme znát počáteční podmínky.
První podmínka je jasná: $I_L (0)=2A$ .
Druhá by měla být pro $I_L^{'} (0)$ .
Nejdřív mě napadlo, že nám v zadání chybí, ale lze ji dopočítat ze vztahu (3) pro $t=0$ :
$U_L(0)=L I_L^{'} (0)$ , neboli $I_L^{'} (0)=\frac{U_L(0)}{L}=\frac{U_e}{L}$ .

Dále už to není nic objevného. Řešení bude ve tvaru
$I_L(t)=I_{max} \cos(\omega t - \varphi)$ , kde $I_{max}$ a $\varphi$ se dopočítá z počátečních podmínek.

Snad zajímavé je to, že po rozepnutí vypínače bude proud $I_L$ dále ještě chvíli růst díky napětí na kondenzátoru.
Maximální velikost proudu bude
$I_{max}=\sqrt{I_L^2(0)+U_e^2 \frac CL} \ > \ I_L(0)$
Také maximální velikosti napětí na kondenzátoru budou větší než napětí zdroje $U_e$ .

Integrací proudu $-I_L(t)$ , což je vlastně $I_C(t)$ , bychom dostali náboj na kondenzátoru jako funkci času, a z toho i odpověď k zadané otázce.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

rughar · 12. 03. 2011 12:44

↑ medvidek:

Vlastně ano.

Řada z mých úvah byla zbytečných a nebo dokonce chybných. Možná bylo lepší z mojí strany mlčet :-). Tvá řešení by měla být v pořádku.

Matematické Fórum

#1 09. 03. 2011 20:49

elektromagneticke kmitani

#2 10. 03. 2011 09:44 — Editoval rughar (11. 03. 2011 22:24)

Re: elektromagneticke kmitani

#3 10. 03. 2011 19:46 — Editoval medvidek (11. 03. 2011 11:29)

Re: elektromagneticke kmitani

#4 11. 03. 2011 23:58

Re: elektromagneticke kmitani

#5 12. 03. 2011 06:34

Re: elektromagneticke kmitani

#6 12. 03. 2011 08:03

Re: elektromagneticke kmitani

#7 12. 03. 2011 12:44

Re: elektromagneticke kmitani

Zápatí