Matematické Fórum

Ahoj!

Snad ti jeste mohu pomoct s timto prikladem. Podrobnejsi navod ti dam k tve prvni nerovnici ...

(1)  sin(cos x) < 0.

Aby byl sinus nejakeho uhlu (v nasem pripade je uhel cos(x), ale toho si nijak nevsimej (at tam treba stoji trpaslik)) mensi nez nula, pak by dny uhel (chces-li trpaslik) musel nalezet do techto intervalu (nakresli si sinusoidu ...):

... , (-3 pi, -2 pi), (- pi, 0), (pi, 2 pi), ...

Obecne receno, potrebujeme vsechny intervaly, ktere zacinaji lichym nasobkem cisla pi a konci jeho sudym nasobkem, pricemz delka intervalu je rovna cislu pi. Berouce v uvahu, ze suda cisal se daji zapsat ve tvaru 2*K a predchozi liche cislo ve tvaru 2*K-1, kde K je cislo cele (0,+/-1,+/-2,+/-3,...), lze nase intervaly zapsat obecne takto:

((2*K-1)*pi, 2*K*pi),   kde    K nalezi celym cislum.

Tedy uhel kosinu (v nasem pripade cos(x)) ma lezet v techto intervalech. Zapsano formalne, mame:

cos(x) nalezi do ((2*K-1)*pi, 2*K*pi),   kde    K nalezi celym cislum.

Ale funkce kosinus je omezena, presneji, jeji hodnoty neprevysuji +1 a neklesaji pod -1. Tedy ne vsechny predchozi intervaly budou mit smysl. Vememe pouze takove, ktere obsahuji v sobe interval (-1;1) nebo jeho cast. Lehce ale zjistis, ze jediny interva obsahujici cast intervalu (-1;1) je interval pro K=0, tedy (-pi, 0). Tedy ma platit cos(x) nalezi do (-1;0). Pokud si naktreslis kosinusoidu, vidis okamzite, ve kterych intervalech na ose "x" nabyva hodnot mezi nulou a minus jednickou. Zcela analogicky jako v predchozim pripade pak lze odvodit, ze tyto intervaly se daji zapsat obecne ve tvaru

(((2*L-1)/2)*pi; ((2*L+1)/2)*pi), kde L je cele cislo.
--------------------------------------------------------------------------

(2) U druhe nerovnice si nakresli kotangentoidu cotg(x/2) (prsneji receno nekolik jejich vetvi). Na ose "y" najdi hodnotu 1 a ved primku vodorovnou s osou "x" prochazejici souradnici 1 na ose "y". Dostanes jakesi pruseciky teto primky s kotangentoidou. Protoze cotg(pi/4)=cotg((pi/2)/2)=1, bude jeden prusecik s x-ovou souradnici x = pi/2. podobne dostanes dalsi takove pruseciky (funkce cotg(x) je totiz periodicka s periodou pi. POZOR ale, nebot ty mas funkci cotg(x/2)!!! Zde se zmeni i perioda oproti klasicke kotangetoide cotg(x). Tva kotangentoida bude roztahnuta "dvakrat", takze perioda nebude pi, ale 2*pi). Na grafu pak treba nejak barevne vykresli ty casti tve kotangentoidy cotg(x/2), ktere jsou pod primkou vodorovnou s osou "x", prochazejici na ose "y" bodem 1. Promitni tyto vybarvene useky na osu "x" a vidis hned ty hodnoty, ktere vyhodvuji tve nerovnici ze zadani. Podobnym zpusobem jako v bode (1) pak najdes obecne vyjadreni takovychto intervalu.




Zdravim!
Marian