Množina M je konvexní právě, když M obsahuje celou úsečku mezi každými dvěma body z M.
Množina M tvoří afinní prostor právě, když M obsahuje celou přímku mezi každými dvěma body z M.
Třeba dokázat tyhle dvě tvrzení. Jsou to vlastně definice, no třeba je dokázat.
Asi by to šlo pomocí týhle definice: Množina M je konvexní, jestliže M = conv(M). A tu přimku by šlo zapsat jako jsou-li x, y ∈ M a (lambda) ∈ <0, 1>, tak i (lambda)x + (1 − (lambda))y ∈ M
Nevím si rady, má někdo nějaký nápad?
Offline
↑ alfagama:
I. Pokud jde o tu konvexnost:
Existuje více způsobů, jak teorii budovat, a netuším, jak je to pojato ve vašem kursu.
Výrokem
(a) "Množina M je konvexní právě, když M obsahuje celou úsečku mezi každými dvěma body z M."
bývá pojem konvexnosti množiny definován, takže v takovém případě zde není co dokazovat.
Má-li být výrok (a) větou, která se dokazuje , pak potřebujeme nějakou jinou definici konvexnosti, např. výrok
(b) "Množina M je konvexní, právě když conv(M) = M . "
za předpokladu, že máme definován pojem konvexního obalu conv(M) množiny M
(ne však výrokem "conv(M) je průnik všech konvexních nadmnožin množiny M", to bychom dostali "definici kruhem").
Pokud za definici conv(M) příjmemem výrok
(c) "Bod X patří do conv(M) právě tehdy, když buďto X leží v M nebo existují body A, B v M takové, že X leží na ús. AB",
potom definice konvexnosti množiny M výrokem (b) je korektní. Domnívám se, že tato cesta je míněna. Máme tedy
na základě definice (c) dokázat větu "(b) <==> (a) " , kterou můžeme zkrátit na
" conv(M) = M <==> M obsahuje celou úsečku mezi každými dvěma body z M"
(za úsečky ovšem nutno považovat i jednobodové množniny - úsečkou XX je množina {X} ).
II. Pokud jde o afinní prostor: Zkus si především vybrat a promyslet jeho definici - dvě její varianty jsou popsány zde
PS. Detaily postupu budou v obou případech záviset též na tom, jaké "geometrické metody" máme k dispsici
(syntetická vs. analytická geometrie).
Offline