Matematické Fórum

Breta · 15. 03. 2011 09:20

Zdravím,
opět otravuju s řadou a vyšetřením její konvergence:

$\sum(\frac{sin n + cos n}{3})^n$

Díky

musixx · 15. 03. 2011 09:27

Nejde ten čitatel omezit nějakou konstantou?

Breta · 15. 03. 2011 10:57

No to nevím a pokud ano, tak jakou?

No a potom, že bych vyšetřoval konvergenci jen té nové řady a z ní by potom vyplynula konvergence zadané?

Phate · 15. 03. 2011 11:02

↑ Breta:
zkus odmocninove kriterium a odhad, ze $sin n + cos n\leq2$

musixx · 15. 03. 2011 11:09 — Editoval musixx (15. 03. 2011 13:14)

↑ Breta: No určitě vždycky je přeci $-1\leq\sin x\leq1$ a také $-1\leq\cos x\leq1$ , tedy odtud plyne, že zejména pro libovolné přirozené n je $-2\leq\sin n+\cos n\leq2$ (šel by udělat dokonce i lepší odhad, ale to nijak nepotřebujeme).

Pak uvážit, že $-a^b\leq(-a)^b\leq a^b$ všude tam, kde ty mocniny mají smysl. EDIT: viz #6 níže: Tyto nerovnosti jsou obecně nepravda, můj unáhledný závěr, ale na následující ohraničení zadané řady to vliv nemá.

No a srázu nám to udělalo odhad, že naše řada není menší než geometrická řada $-\sum\left(\frac23\right)^n$ a není větší než geometrická řada $\sum\left(\frac23\right)^n$ .

Dokonce ani žádné pokročilejší metody z matematické analýzy netřeba.

EDIT: mezitím částečně napověděl ↑ Phate:

Marian · 15. 03. 2011 12:10 — Editoval Marian (15. 03. 2011 12:13)

musixx napsal(a):
Pak uvážit, že $-a^b\leq(-a)^b\leq a^b$ všude tam, kde ty mocniny mají smysl.

Mohu se zeptat, jak to funguje v případě $a=-1$ , $b=1$ ?

Stačí vyšetřovat aboslutní konvergenci a využít jen definici (absolutní resp. klasické) konvergence nekonečné řady a trojúhelníkové nerovnosti (s triviální odhadem o součtu $|\sin (x)+\cos (x)|<2$ ).

musixx · 15. 03. 2011 13:02 — Editoval musixx (15. 03. 2011 13:07)

↑ Marian: Děkuji za pozornost. Upřesňovat a formalizovat, co jsem tím chtěl říct, nebudu, i když by to šlo opravit. Mírně jsem zeditoval svůj předchozí příspěvek. Jsme v sekci VŠ, takže netřeba se vyhýbat pojmu absolutní konvergence.

Matematické Fórum

#1 15. 03. 2011 09:20

Řada

#2 15. 03. 2011 09:27

Re: Řada

#3 15. 03. 2011 10:57

Re: Řada

#4 15. 03. 2011 11:02

Re: Řada

#5 15. 03. 2011 11:09 — Editoval musixx (15. 03. 2011 13:14)

Re: Řada

#6 15. 03. 2011 12:10 — Editoval Marian (15. 03. 2011 12:13)

Re: Řada

musixx napsal(a):

#7 15. 03. 2011 13:02 — Editoval musixx (15. 03. 2011 13:07)

Re: Řada

Zápatí