Matematické Fórum

Isomorfismus je homomorfismus, který je prostý (injektivní, monomorfismus) a na (surjektnivní, epimorfismus). To, že jde o isomorfismus, se u homomorfismů vektorových prostorů pozná např. tak, že jeho matice je čtvercová a regulární.

ok...diky

↑ SweetNelli: Jak tazatel přišel na to, že něco z něčeho plyne, to já nevím, musel by opovědět on. :-)

Co konkretně není jasné Tobě ? Začni u překážky, která je v logickém sledu ta první.

↑ SweetNelli:
Velmi správně, opravdu jsem nic nedokázal, avšak to ani nebylo mým cílem.  Šlo mi o toto:

1) Vysvětlit tazateli, co je to isomorfismus (tazatel napsal, že tomu pojmu nerozumí).

2) Úlohu na důkaz, že A je isomorfismus,  poněkud rozebrat.

Hlavní část důkazu, že isomorfismem je zobrazení G, jsem už nedokazoval a uvedl jsem u toho "zbývá dokázat".


EDIT. Přesto s tím svým příspěvkem nejsem spokojen  - pro několik překlepů ve vzorcích.

↑ SweetNelli: OK.

Matici 2x2 můžeme považovat za vektor z R^4,  tj.

     [ a , b ]
     [ c , d ]    =   (a b, c, d )  .

Máme  tedy dokázat, že zobrazení   G ((a, b, c, d)) := ( a+b,  c+d ,  a+d ,  b-c )  je isomorfismus.

(1a)  Aditivita:  mějme vektory  u = (a, b, c, d), v =  (e, f, g, h) .  Potom  u + v  =  (a + e, b + f, c + g, d + h) .
Máme dokázat, že  G(u + v) = G(u) + G(v).

     G(u+v)  = G ((a + e, b + f, c + g, d +h))  = ((a + e) + (b + f), (c + g) + (d + h) ,  (a + e) + (d + h) , (b + f) - (c +g )) =
                  =  (a + b + e +  f,  c + d + g + h ,  a + d + e + h ,  b - c  +  f - g ) ,

      G(u) + G(v)  =  G(a, b, c, d) + G(e, f, g, h)  =  ( a+b,  c+d ,  a+d ,  b-c ) + (e+f,  g+h ,  e+h ,  f-g ) =
                                                                       =  ( a+b +e+f ,  c+d + g+h ,  a+d + e+h,  b-c + f-g) .
Porovnáním obou výsledků je aditivita dokázána.

(1b)  Homogenita : mějme vektor  u = (a, b, c, d)  a skalár t  (prvek tělesa T, což bude těleso reál. čísel) . Potom
t*u = (t*a, t*b, t*c, t*d).   Máme dokázat, že  G(t*u) = t*G(u).

         G(t*u) =  G(t*a, t*b, t*c, t*d) =   ( t*a + t*b,  t*c + t*d ,  t*a + t*d ,  t*b - t*c )  =   ( t*(a + b),  t*(c + d) ,  t*(a + d) ,  t*(b - c) )  =
                   = t* ( a+b,  c+d ,  a+d ,  b-c ) = t*G(a, b, c, d) =  t*G(u).

(2a) Důkaz, že lineární zobrazení G je prosté:  mějme vektory v, w  takové, že G(v) = G(w) -   je potřeba ukázat, že v = w .

Z rovnice G(v) = G(w)  plyne  G(v - w) = G(v) - G(w)  = (0, 0, 0, 0) .  Nechť v - w  = u = (a, b, c, d), 
takže  G(u) = G(a, b, c, d) = (0, 0, 0, 0).  Z definice zobrazení G to znamená  soustavu rovnic   a+b = 0 ,  c+d = 0 ,  a+d  = 0 , b-c  = 0 ,
ta má ovšem jediné řešení  a = b = c = d = 0 , takže  v - w = (0, 0, 0, 0), neboli v = w.

(2b) Lineátní zobrazení má obecně dvě vlastnosti:
I.  jeho obor hodnot je linéárním prostorem ,
II.  je-li prosté, pak dimense jeho oboru hodnot je stejná jako dimense jeho definičního oboru.

Naše zobrazení G splňuje:
-  má za definiční obor R^4,  což je prostor dimense 4,
-  je prosté, takže jeho obor hodnot má rovněž dimensi 4,
-  obor jeho hodnot - množina, kterou značíme též Im(G) - je podprostorem v R^4,

V R^4 , který má dimensi 4, tedy existuje podprostor Im(G), který má rovněž dimensi 4 .  To ovšem znamená, že Im(G) = R^4
(v prostoru konečné dimense nemůže existovat vlastní podprostor téže dimense).
Takže G zobrazuje R^4 na R^4, což je zároveň prostor všech matic typu (2,2).

Kroky (1a), (1b), (2a), (2b)  v souhrnu dokazují, že G je isomorfismus.

Dobrý den,

chtěl bych požádat o pomoc resp. kontrolu následujícího příklad:

Najděte všechny izomorfismy grupy (Z{4},+) na grupu (\{1, -1, i, -i\},.).

Vycházel jsem z toho, že tyto dvě grupy jsou izomorfní, pokud platí: F(x+y) = F(x) . F(y)

Vzhledem k výsledné grupy, kterou tvoří komplexní čísla, jsem došel k závěru, že funkce F by měla být exponenciální a zadání dle mého názoru splňují izomorfismy:

1) F(x) = i^{x}
2) F(x) = (-i)^{x}
3) F(x) = -1*(i)^{x}

Je opravdu řešením tohoto příkladu tento výsledek? Unikla mi případně další řešení?

Moc děkuji.