Matematické Fórum

Matej1117 · 15. 03. 2011 15:44

Zdravim, nevie niekto comu sa rovna sucet prevratenych hodnot vsetkych prvocisel? Mam pocit ze nekonecnu, nie som si vsak isty.

halogan · 15. 03. 2011 15:56

Wikipedia napsal(a):
Euler's work in number theory included many results about primes. He showed the infinite series 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + … is divergent.

Jedna celá stránka k této řadě.

Matej1117 · 15. 03. 2011 17:55

Myslel som si ze sa to rovna leziacej osmicke.. prvocisla su velmi blizko seba a skoro vobec sa nevzdialuju ..

check_drummer · 15. 03. 2011 18:21

↑ Matej1117:

A co je to ležící osmička? To je f(8), kde f je lineární zobrazení dáno maticí ((0,-1),(1,0))?

hradecek · 15. 03. 2011 18:40

↑ check_drummer:
Myslím, že "ležiaca osmička" bude ∞ = nekonečno

Pavel · 15. 03. 2011 18:40 — Editoval Pavel (15. 03. 2011 18:41)

↑ Matej1117:

Není pravda, že se prvočísla skoro vůbec nevzdalují. Lze ukázat, že rozdíl dvou sousedních prvočísel může být libovolně velký. Jinými slovy, mezi dvěma sousedními prvočísly existují libovolně velké mezery. Na druhé straně Bertrandův postulát tvrdí, že mezi přirozeným číslem n a 2n existuje alespoň jedno prvočíslo.

Matej1117

Pavel je pravda ze medzera medzi dvoma prvocislami moze byt aj vacsia ako 50 ale oni sa od seba nevzdialuju ... chcem povedat - nenajdes 10 za sebou iducich prvocisel, ktore su od seba vzdialene o 50 a ponich dalsich 10 prvocisel s este vacsimi medzerami medzi sebou .. ono to je tak ze najprv mas prvociselnu dvojicu, potom je rozdiel napr. 6 alebo aj 10 mozes najst aj 20 ale potom to zase klesne a zase najdes prvociselnu dvojicu a tak to ide... trosku mi to pripomina sinusovku ..

vezmi si napriklad mocninu .. 4 9 16 25 36 49 ... medzery medzi tymito cislami sa zvacsuju .. preto prevratene hodnoty tychto cisel maju konecnu hodnotu .. ale sucet prevratenych hodnot cisel 1 2 3 4 5 6 7 8 9 je nekonecny pretoze su hned vedla seba .. priliz na "husto" a prvocisla maju sice medzi sebou nejake medzery ale nedostatocne nato aby mali konecny tvar, teda rovnaju sa nekonecnu.. mozno sa nevyjadrujem dobre ale pekne to vidno ked si vezmes papier a pero a trosku sa pohras..

Matej1117

check_drummer napsal(a):
↑ Matej1117:

A co je to ležící osmička? To je f(8), kde f je lineární zobrazení dáno maticí ((0,-1),(1,0))?

leziaca osmicka - mal som na mysli nekonecno..

halogan · 15. 03. 2011 19:46

Matej1117 napsal(a):
pekne to vidno ked si vezmes papier a pero a trosku sa pohras..

To nieje vidno. Není problém sestrojit posloupnost, kde jednotlivé členy se od sebe vzdalují, ale součet jejich převrácených hodnot diverguje.

Není možné naškrábat si pár prvočísel a usuzovat něco tak zásadního, jako je konvergence/divergence řady. Je potřeba důkaz.

Matej1117

ved ano, dokaz je potrebny to mas pravdu .. ale ja som sa s tym pohral dost .. spocital som neviem kolko prvocisel a pozeral som sa ako sa tato rada chova ... spocitaval som az po prvocislo 1993 to si myslim ze je dost na usudenie nejakeho zaveru, aj ked dokaz samozrejme nemam .. ale tie medzery medzi prvocislami su male.. nasiel som si na internete taky program ktory mi ukaze prvocisla az do 1.000.000.000 co je dost vela a ked som sledoval medzery - zvacsovali sa ale len velmi pomalicky.. viem ze keby som chcel tvrdit - ano ide to do nekonecna, tak to si dovolit nemozem ale mozem si dovolit tvrdit - mam takeho tusaka ze sucet sa rovna nekonecnu..

A k tej postupnosti - zostroj mi taku ktorej cleny sa od seba stale vzdialuju a ktora sa nerovna nekonecnu, taku som este nevidel .. moze to byt zaujimave..

halogan

↑ Matej1117:

Tak třeba

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Edit: tak třeba takto ne :-) Ale i tak špatně chápete mou podstatu. Napřed chcete, aby se vzdalovaly původní členy, pak aby se vzdalovaly převrácené členy... tak já vám nerozumím.

Myslel jsem něco takového:

$a_n = a_{n-1} + \frac{n}{n+1}$

Matej1117

ani by som nepovedal ze sa vzdialuju .. skor priblizuju .. cleny ktore spocitavam - 2, 4/3, 5/4, 6/5, 7/6, 8/7, 9/8, 10/9, atd.
vzdialenosti medzi clenmi: 0.66 0.0833 0.05 0.033
ta hodnota nie je rastuca, ale klesajuca..

halogan · 15. 03. 2011 20:11

↑ Matej1117:

Chtěl jste, aby se hodnoty původní posloupnosti vzdalovaly.

Matej1117

a vzdialuju sa?? ked za n postupne dosadzujem cisla 1 2 3... dostanem hore uveden hodnoty, ktore sa nevzdialuju od seba..

Pavel · 16. 03. 2011 06:39

↑ Matej1117:

Tvůj argument spočívá v tom, že předpokládáš, že v rozložení prvočísel v množině přirozených čísel vždy najdeš prvočíselnou dvojici, v níž je rozdíl sousedních prvočísel roven 2. Zde bych byl dost opatrný, protože dodnes není dokázáno, zda prvočíselných dvojic existuje konečně nebo nekonečně mnoho. Ví se pouze, že součet jejich převracených hodnot konverguje k tzv. Brunově konstantě.

Pavel · 16. 03. 2011 08:02

↑ Matej1117:

Příklad posloupnosti, kde jednotlivé členy se od sebe vzdalují, ale součet jejich převrácených hodnot diverguje.

$a_n=n\ln n.$

Jednoduše se ukáže, že $\lim_{n\to\infty}(a_{n+1}-a_n)=\infty$ , tzn. vzdálenost sousedních členů roste nade všechny meze, avšak

$\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n\ln n}=\infty.$

Matej1117 · 16. 03. 2011 09:23

Niekde na internete som nasiel tvrdenie, ze uz ktosi dokazal ze je prvociselnych dvojcat nekonecne vela.. Neviem ci je to pravda alebo len taky vykrirk do tmy, mozno chcu len uputat pozornost..

Pavel · 16. 03. 2011 11:09 — Editoval Pavel (16. 03. 2011 11:10)

↑ Matej1117:

Pokud víš o nějakém důkazu, uveď zdroj. Pokud já vím, tak je to zatím hypotéza, která není dokázána.

Matej1117

ved ti hovorim ze dokaz tam nebol.. len tam bolo napisane ze uz bola dokazana tato hypoteza.. a to bola taka pochybna webstranka co som si len tak hladal informacie na nete..

check_drummer · 18. 03. 2011 20:14

Ještě mě napadlo - když tedy $\sum \frac{1}{p_n}$ , kde $p_n$ je n-té prvočíslo, diverguje, jak tomu bude s řadou $\sum \frac{1}{p_{p_n}}$ - také diverguje? A pokud ano, kdy začne řada konvergovat - tj. při jaké volbě členů posloupnosti ( $p_n$ , $p_{p_n}$ , $p_{p_{p_n}}$ ...) bude řada konvergovat (pokud vůbec kdy)?

Možná by bylo zajímavé toto zobecnit nejen pro posloupnost prvočísel, ale pro obecnou rostoucí posloupnost přirozených čísel...

Stýv · 18. 03. 2011 20:41

↑ check_drummer: třeba pro aritmetický posloupnosti ta řada konvergovat nebude nikdy, nemýlím-li se

Pavel · 18. 03. 2011 20:42 — Editoval Pavel (18. 03. 2011 22:17)

↑ check_drummer:

Můj odhad je, že řada $\sum \frac{1}{p_{p_n}}$ i ostatní řady budou už konvergentní. Z prvočíselné věty vyplývá, že

$\lim_{n\to\infty}\frac{p_n}{n\ln n}=1.$

Tzn.

$1=\lim_{n\to\infty}\frac{p_{p_n}}{p_n\ln p_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{p_{p_n}}{n\ln n\ln(n\ln n)}=\lim_{n\to\infty}\frac{p_{p_n}}{n\ln^2n+n\ln n\ln\ln n}=\lim_{n\to\infty}\frac{p_{p_n}}{n\ln^2n}\,.$

Takže obě řady

$\sum \frac{1}{p_{p_n}}$ a $\sum \frac{1}{n\ln^2n}$ obě konvergují nebo divergují. Samozřejmě první možnost je správně.

Matej1117

co je to to "ppn" to nechapem a ten druhy vyraz nie je nahodov chybny?? mas tam ze ln na druhu

jarrro · 19. 03. 2011 11:20 — Editoval jarrro (19. 03. 2011 11:26)

↑ Matej1117: $p_{p_n}$ je v poradí pnté prvočíslo napr. $p_{p_1}=p_2=3\nl p_{p_2}=p_3=5\nl p_{p_3}=p_5=11\nl p_{p_4}=p_7=17\nl p_{p_5}=p_{11}=31\nl \text{atd}$
prečo by to malo byť zle? $\ln^2{n}=\ln{n}\cdot\ln{n}$

Matej1117

aha uz tie cisla chapem .. dalsie bude Pp6 cize P13 cize 41 dobre som to pochopil? a myslite ze to bude konvergovat?? ja uz som spocital 50 clenov tejto rady a vysledna hodnota stale narasta..
A co hovori ta spominana prvociselna veta?

Matematické Fórum

#1 15. 03. 2011 15:44

Sucet prevratenych hodnot prvocisel

#2 15. 03. 2011 15:56

Re: Sucet prevratenych hodnot prvocisel

Wikipedia napsal(a):

#3 15. 03. 2011 17:55

Re: Sucet prevratenych hodnot prvocisel

#4 15. 03. 2011 18:21

Re: Sucet prevratenych hodnot prvocisel

#5 15. 03. 2011 18:40

Re: Sucet prevratenych hodnot prvocisel

#6 15. 03. 2011 18:40 — Editoval Pavel (15. 03. 2011 18:41)

Re: Sucet prevratenych hodnot prvocisel

#7 15. 03. 2011 19:23 — Editoval Matej1117 (15. 03. 2011 19:31)

Re: Sucet prevratenych hodnot prvocisel

#8 15. 03. 2011 19:26 — Editoval Matej1117 (15. 03. 2011 19:26)

Re: Sucet prevratenych hodnot prvocisel

check_drummer napsal(a):

#9 15. 03. 2011 19:46

Re: Sucet prevratenych hodnot prvocisel

Matej1117 napsal(a):

#10 15. 03. 2011 19:50 — Editoval Matej1117 (15. 03. 2011 19:53)

Re: Sucet prevratenych hodnot prvocisel

#11 15. 03. 2011 19:58 — Editoval halogan (15. 03. 2011 20:30)

Re: Sucet prevratenych hodnot prvocisel

#12 15. 03. 2011 20:07 — Editoval Matej1117 (15. 03. 2011 20:10)

Re: Sucet prevratenych hodnot prvocisel

#13 15. 03. 2011 20:11

Re: Sucet prevratenych hodnot prvocisel

#14 15. 03. 2011 20:12 — Editoval Matej1117 (15. 03. 2011 20:12)

Re: Sucet prevratenych hodnot prvocisel

#15 16. 03. 2011 06:39

Re: Sucet prevratenych hodnot prvocisel

#16 16. 03. 2011 08:02

Re: Sucet prevratenych hodnot prvocisel

#17 16. 03. 2011 09:23

Re: Sucet prevratenych hodnot prvocisel

#18 16. 03. 2011 11:09 — Editoval Pavel (16. 03. 2011 11:10)

Re: Sucet prevratenych hodnot prvocisel

#19 16. 03. 2011 12:04 — Editoval Matej1117 (16. 03. 2011 12:04)

Re: Sucet prevratenych hodnot prvocisel

#20 18. 03. 2011 20:14

Re: Sucet prevratenych hodnot prvocisel

#21 18. 03. 2011 20:41

Re: Sucet prevratenych hodnot prvocisel

#22 18. 03. 2011 20:42 — Editoval Pavel (18. 03. 2011 22:17)

Re: Sucet prevratenych hodnot prvocisel

#23 19. 03. 2011 10:07 — Editoval Matej1117 (19. 03. 2011 10:08)

Re: Sucet prevratenych hodnot prvocisel

#24 19. 03. 2011 11:20 — Editoval jarrro (19. 03. 2011 11:26)

Re: Sucet prevratenych hodnot prvocisel

#25 19. 03. 2011 11:35 — Editoval Matej1117 (19. 03. 2011 12:00)

Re: Sucet prevratenych hodnot prvocisel

Zápatí