Matematické Fórum

RonFreedom · 09. 03. 2011 14:02

Ahoj všichni,

uměl by tohle někdo vyřešit???

musixx · 09. 03. 2011 14:53 — Editoval musixx (09. 03. 2011 15:04)

↑ RonFreedom: Zbudou tak teda čísla
5,10,15,20,25,...
kvůli delitelnosti pěti, dále čísla
11,22,33,44,55,...
kvůli dělitelnosti 11 a některá čísla -- přesně řečeno ta, která jsou dělitelná 55, jsem tu napsal dvakrát.

Začněme příkladem. Kolik zůstalo čísel, která jsou menší než 1000? No $\left[\frac{1000}5\right]+\left[\frac{1000}{11}\right]-\left[\frac{1000}{55}\right]$ . Musím totiž sečít ta čísla, která jsou tam "kvůli pětce" s těma, která jsou tam "kvůli jedenáctce" a protože jsem ta, která jsou tam "kvůli 55", započítal dvakrát, tak je zase jednou odečtu. BTW: Velmi jednoduchý případ principu inkluze a exkluze.

Takže hledáme takové x, aby $\left[\frac{x}5\right]+\left[\frac{x}{11}\right]-\left[\frac{x}{55}\right]=2004$ , kde ty závorky značí (dolní) celou část a vlastně je můžeme vynechat, což nás přiblíží k řešení, které jistě existuje. Nemusí ho dát! Je to třeba na závěr zkontrolovat, případně takto nalezené x drobně poopravit.

To už nechám na tobě. Stačí?

EDIT: Zřejmě bylo zadání voleno záměrně tak, aby úvahy o celé části a pouze přiblížení se k řešení ani provedeny být nemusely. Ty by se projevily třeba tehdy, kdybychom hledali 2003. napsané číslo. Schválně si to zkus, chceš-li celé situaci kompletně rozumět. Jsme na SŠ, tak se nebudu pouštět do toho, jak řešit napsanou rovnici "i s těma závorkama" a v Z, protože to by rámec SŠ pravděpodobně přesáhlo a je to v tomto konkrétním případě podle mě i zbytečné.

RonFreedom · 09. 03. 2011 15:19

↑ musixx:

Vyšlo mi x = 7368

musixx · 09. 03. 2011 15:33

↑ RonFreedom: Asi překlep. Ne náhodou 7348?

RonFreedom · 09. 03. 2011 17:25

↑ musixx:
JJ, pardon překlep: Vyšlo to tedy 7348

houfn · 15. 03. 2011 16:06

↑ RonFreedom:

Opravdu nechápu celé řešení...

Jak to, když hledám třeba číslo na 10. pozici (to by mělo být číslo 55), nebo 2 pozici, tak to podle tohodle vzorce nikdy nevyjde. Vyjde to vždy nějaký podíl.. Jak to tedy je?? Děkuji předem Všem .

Phate · 15. 03. 2011 16:27

↑ houfn:
cislo 55 ale neni na 10. pozici, ale na 15., pokud dobre pocitam

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

a ze vzorce, ktery ↑ musixx: psal to vychazi:
$\left[\frac{55}5\right]+\left[\frac{55}{11}\right]-\left[\frac{55}{55}\right]=11+5-1=15$

houfn · 15. 03. 2011 16:50

↑ Phate:

No a pro 1. pozici, 2. pozici??
Podle výše uvedeného vzorce by to bylo...

$\left[\frac{x}5\right]+\left[\frac{x}{11}\right]-\left[\frac{x}{55}\right]=1$
x = 11/3 nevychazi

2. pozice

$\left[\frac{x}5\right]+\left[\frac{x}{11}\right]-\left[\frac{x}{55}\right]=2$
x=22/3 --> nevychazi

nebo 2003. pozice..
$\left[\frac{x}5\right]+\left[\frac{x}{11}\right]-\left[\frac{x}{55}\right]=2003$
x=22 033/3 --> nevychazi

Phate · 15. 03. 2011 16:54

↑ houfn:
$\left[\frac{5}5\right]+\left[\frac{5}{11}\right]-\left[\frac{5}{55}\right]=1+0-0=1$
$\left[\frac{10}5\right]+\left[\frac{10}{11}\right]-\left[\frac{10}{55}\right]=2+0-0=2$
$\left[\frac{7345}5\right]+\left[\frac{7345}{11}\right]-\left[\frac{7345}{55}\right]=1469+667-133=2003$

houfn · 15. 03. 2011 16:59

↑ Phate:

Jato že tam dosazuješ ty nuly?? Vždyt 10/11 neni nula..

Ale jak to zjistím z tohodle vzorce $\left[\frac{x}5\right]+\left[\frac{x}{11}\right]-\left[\frac{x}{55}\right]=2003$

To vyjde 22 033/3

Ten tvůj postup je, když už konkrétně vím to číslo, které je na 2003 pozici (7 345)

Děkuji

Phate · 15. 03. 2011 17:40

↑ houfn:
protoze to neni jen tak ledejaka zavorka, ale znaci to dolni(horni) celou cast z cisla, napr. kdyz mas $x=10.5$ , tak $\left[ x \right]=10$ , tzn. ze cislo jakoby uriznes od jeho desetinneho rozvoje. To, jak to zjistis z te rovnice ti asi neporadim, protoze jsem si ten priklad nepsal na papir, jen tu odpovidam z ruky a s celymi castmi jsem moc casto nepocital(napr. urcite neni ekvivalentni uprava vynasobit celou rovnici v tech celych castech)

houfn · 15. 03. 2011 18:17

Aha, tak díky alespoň za to s tou závorkou... Snad mi to vysvětlí někdo jiný..

houfn · 16. 03. 2011 06:12

↑ houfn:
Jak to tedy řešit s těmi závorkami. A proč desetinný rozvoj musím odtrhnout., Díky Dejme tomu například toto: (pro tu 2003. pozici)
$\left[\frac{x}5\right]+\left[\frac{x}{11}\right]-\left[\frac{x}{55}\right]=2003$

Dana1 · 16. 03. 2011 06:54 — Editoval Dana1 (16. 03. 2011 06:55)

↑ houfn:

Odkaz1
Odkaz2, oboje zdroj: Google...

houfn · 16. 03. 2011 10:01

↑ musixx:

JJ, ale když použiji i celou část, tak to nevycházáí.

Vezmu tedy číslio na 2003. pozici (mělo by to být číslo 7 345)

Tedy:

$\left[\frac{x}5\right]+\left[\frac{x}{11}\right]-\left[\frac{x}{55}\right]=2003$

upravím na:
$\frac{3x}{11} - 2003 = 0$

$3x = 22 033$
$x = 7344,333...$

Udělám celou část

$[x] = 7344$

Dosadím do zkoušky:
$\left[\frac{7344}5\right]+\left[\frac{7344}{11}\right]-\left[\frac{7344}{55}\right]=1468+667-133=2002$

Já jsem chtěl 2003. pozici, ale i za použití celé části mi vyšlo číslo, které je na 2002. pozici..

Jak tedy postupovat??? kde je chyba??

musixx · 16. 03. 2011 10:13 — Editoval musixx (16. 03. 2011 10:19)

↑ houfn: Cituji sám sebe:

musixx napsal(a):
... kde ty závorky značí (dolní) celou část a vlastně je můžeme vynechat, což nás přiblíží k řešení, které jistě existuje. Nemusí ho dát! Je to třeba na závěr zkontrolovat, případně takto nalezené x drobně poopravit.

Není možné ty "závorky" na začátku oddělat a jen výsledek znova "uzávorkovat", jak jsi to tady teď předvedl.

Tím "drobně poopravit" je přesně myšlena ta zkouška, kterou jsi udělal na konci, kde jsi zjistil, že by nešlo o 2003., ale o 2002. číslo, tedy je třeba vzít další vyhovující, kterým je ono hledané 7345. Neuvažování celých částí od začátku (tj. odstranění závorek pro výpočet) nás totiž jen přiblíží k řešení, ale natolik dobře, že zbylá korekce jde udělat skutečně snadno. BTW: 7344 tam ani být nemůže, není dělitelné ani 5 ani 11.

musixx · 16. 03. 2011 10:20 — Editoval musixx (16. 03. 2011 10:24)

↑ houfn: To také není dobře. Obecně není pravda, že $[a]+[ b]=[a+b]$ . Uvaž třeba $[1.9]+[1.8]=1+1=2\neq3=[3.7]=[1.9+1.8]$ .

EDIT: Tohle je reakce na houfnem mezitím smazaný příspěvek :-(

houfn · 16. 03. 2011 10:29

↑ musixx:

Jo aha, takže pokud výsledné číslo není dělitelné 5 a 11, tak musím najít další číslo dělitelné 5 a 11, které je nejblíž tomu nedělitelnému, které mi vyšlo a dosadit ho.

A to jinak nejde řešit? tohle mi připadá jako typ řešení - bud' a nebo..

musixx · 16. 03. 2011 10:35

↑ houfn: Ale určitě šlo. Prostě řeš přímo rovnici $\left[\frac{x}5\right]+\left[\frac{x}{11}\right]-\left[\frac{x}{55}\right]=2003$ a neměň ji hned na začátku na $\frac{x}5+\frac{x}{11}-\frac{x}{55}=2003$ . To pak totiž řešíš rovnici jinou a není proto divu, že (někdy) dá i jiné řešení. Pro řešení té první si najdi, jak se dá zacházet s těmi celými částmi. Nečekám tam ale žádný med, proto je snad i schůdnější cesta se zkouškou a korekcí výsledku.

houfn · 16. 03. 2011 10:37

↑ musixx:
takže řeším rovnici $\left[\frac{x}5\right]+\left[\frac{x}{11}\right]-\left[\frac{x}{55}\right]=2003$

Ale jak jí dostanu přes ty závorky na společného jmenovatele?

musixx · 16. 03. 2011 10:47

↑ houfn: To je právě ten mnou avizovaný nenacházející se med. :-)

houfn · 16. 03. 2011 17:30 — Editoval houfn (16. 03. 2011 17:48)

↑ musixx:

Ano, ale nikde to nemohu najít, jak to udělat....

houfn · 16. 03. 2011 19:14 — Editoval houfn (16. 03. 2011 22:43)

↑ musixx:

našel jsem ale, že

$[x]<=x<[x]+1$

Takže pokud dobře uvažuji, tak z tohodle vztahu bych mohl určit alespoň interval čísel, ve kterém číslo leží. Pak jenom dosadím do rovnice a zjistím, které to je. Protože tato rovnice nám možné řešení zredukuje na cca. 5 možných..

Takže, jestli to mám správně? Dejme tomu, že hledám 2333. pozici

$\left[\frac{x}5\right]+\left[\frac{x}{11}\right]-\left[\frac{x}{55}\right]=2333$

$[\frac{3x}{11}] - 2333 = 0$
$[x] = 8554$

Dále kvůli $[x]+1$ určím ještě:

$\left[\frac{x}5\right]+\left[\frac{x}{11}\right]-\left[\frac{x}{55}\right]=2334$

$[\frac{3x}{11}] - 2334 = 0$
$[x] = 8558$

Takže výsledek by měl být

$[x]<=x<[x]+1$
$8554<=x<8558$

Takže výsledek by mělo být číslo: 8 554, 8 555, 8 556 nebo 8 557

Ale podle woflramalpha.com to vychází tako:
$8555<=x<8558$

Tak kde mám chybu??????? Sice je to jen jedno číslo navíc, ale.... Děkuji předem

musixx · 17. 03. 2011 06:18

houfn napsal(a):
Dále kvůli $[x]+1$ určím ještě:
$\left[\frac{x}5\right]+\left[\frac{x}{11}\right]-\left[\frac{x}{55}\right]=2334$

To omezení levé strany rovnice je ale přeci třeba dělat pro každou "závorku" zvlášť. A je také třeba nezapomenout na to, že před jedním členem je mínus, tedy levou stranu nezmenším, když $\left[\frac x{55}\right]$ nezvětším a když $\left[\frac x5\right]$ a $\left[\frac x{11}\right]$ nezmenším. Analogicky pro spodní odhad levé strany.

Matematické Fórum

#1 09. 03. 2011 14:02

Tabule

#2 09. 03. 2011 14:53 — Editoval musixx (09. 03. 2011 15:04)

Re: Tabule

#3 09. 03. 2011 15:19

Re: Tabule

#4 09. 03. 2011 15:33

Re: Tabule

#5 09. 03. 2011 17:25

Re: Tabule

#6 15. 03. 2011 16:06

Re: Tabule

#7 15. 03. 2011 16:27

Re: Tabule

#8 15. 03. 2011 16:50

Re: Tabule

#9 15. 03. 2011 16:54

Re: Tabule

#10 15. 03. 2011 16:59

Re: Tabule

#11 15. 03. 2011 17:40

Re: Tabule

#12 15. 03. 2011 18:17

Re: Tabule

#13 16. 03. 2011 06:12

Re: Tabule

#14 16. 03. 2011 06:54 — Editoval Dana1 (16. 03. 2011 06:55)

Re: Tabule

#15 16. 03. 2011 10:01

Re: Tabule

#16 16. 03. 2011 10:13 — Editoval musixx (16. 03. 2011 10:19)

Re: Tabule

musixx napsal(a):

#17 16. 03. 2011 10:20 — Editoval musixx (16. 03. 2011 10:24)

Re: Tabule

#18 16. 03. 2011 10:29

Re: Tabule

#19 16. 03. 2011 10:35

Re: Tabule

#20 16. 03. 2011 10:37

Re: Tabule

#21 16. 03. 2011 10:47

Re: Tabule

#22 16. 03. 2011 17:30 — Editoval houfn (16. 03. 2011 17:48)

Re: Tabule

#23 16. 03. 2011 19:14 — Editoval houfn (16. 03. 2011 22:43)

Re: Tabule

#24 17. 03. 2011 06:18

Re: Tabule

houfn napsal(a):

Zápatí