Matematické Fórum

starmatulik · 16. 03. 2011 13:50

Je dána kuželosečka 9x^2 – 4y^2 – 36x + 8y – 4 =0
Určete všechny charakteristické prvky,určete přímky,které prochází bodem M[-1 , -1] , a mají s kuželosečkou jeden společný bod.Načrtněte kuželosečku.

Phate · 16. 03. 2011 13:57

kde jsi se zasekl(a)?

Cheop · 17. 03. 2011 14:35 — Editoval Cheop (17. 03. 2011 14:37)

↑ starmatulik:
Je ten bod M správně zadán? Vychází mi totiž, že je "vnitřním" bodem
hyperboly, takže jím nelze vést tečnu ke křivce.

jarrro · 17. 03. 2011 14:48

↑ Cheop:ten spoločný bod nemusí byť dotykový napr.aj priamka rovnobežná s asymptotou a2 prechádzajúca bodom M má len jeden bod spoločný

Cheop · 17. 03. 2011 15:07 — Editoval Cheop (17. 03. 2011 17:11)

↑ jarrro:
No ano už jsem z toho zblbnul tak, že počítám jen tečny.

starmatulik · 30. 03. 2011 15:34

↑ Cheop: já, bohužel stále netuším, jak jste se dopracovali k tvaru p1 a p2.

Cheop · 30. 03. 2011 15:44 — Editoval Cheop (30. 03. 2011 15:50)

↑ starmatulik:
Ty přímky budou rovnoběžné s asymptotami ( jednou a druhou) a budou procházet bodem M
Pro rovnice asymptot hyperboly se středem S(m;n) platí:
$y-n=\pm\frac ba\left(x-m\right)$
Převeď si rovnici hyperboly na středový tvar urči střed S, a,b.
Urči rovnice asymptot a pak rovnice přímek rovnoběžných s asymptotami, které prochází bodem M

Tyto přímky budou mít s hyperbolou společný 1 bod - viz obrázek v příspěvku #5

starmatulik

↑ Cheop: vyšla mi asymptota- s2:3x-2y=4, jak zjistím tu první?
A co s tím mám dělat dále?

Cheop · 30. 03. 2011 19:43 — Editoval Cheop (31. 03. 2011 13:58)

↑ starmatulik:
Převedeš rovnici hyperboly na středový tvar a zjistíš souřadnice středu a a,b tedy:
$9x^2-4y^2-36x+8y=4\\9(x-2)^2-36-4(y-1)^2+4=4\\9(x-2)^2-4(y-1)^2=36\\\frac{(x-2)^2}{4}-\frac{(y-1)^2}{9}=1$
Souřadnice středu: $S=(2;\,1)$
$a^2=4\\a=2\\b^2=9\\b=3$
Rovnice asymptot:
$\color{green}y-n=\pm\frac ba\left(x-m\right)$
První asymptota:
$y-1=\frac 32\left(x-2\right)\\2y-2=3x-6\\\color{cyan}3x-2y-4=0$
Přímka bude rovnoběžná s touto asymptotou a bude procházet bodem $M=(-1;\,-1)$
Bude mít rovnici:
$3x-2y+c=0$ - dosadíme bod M tedy:
$3\cdot(-1)-2\cdot(-1)+c=0\\-3+2+c=0\\c=1$
Rovnice přímky:
$\color{blue}3x-2y+1=0$
Druhá asymptota:
$y-1=-\frac 32\left(x-2\right)\\2y-2=-3x+6\\\color{cyan}3x+2y-8=0$
Přímka bude rovnoběžná s touto asymptotou a bude procházet bodem M
Bude mít rovnici:
$3x+2y+c=0$ - dosadím bod M
$3\cdot(-1)+2(-1)+c=0\\c=5$
Rovnice přímky:
$\color{magenta}3x+2y+5=0$

Ta rovnoběžnost přímek s asymptotami právě zajistí to, že ty přímky
protnou "větev" hyperboly jen v jediném bodě. Budou mít s hyperbolou 1 společný bod.
(To, kterou "větev" protnou závisí na souřadnicích bodu M a pochopitelně i na rovnici hyperboly)