Matematické Fórum

Je v konstrukci povoleno nekonečně mnoho kroků? :-)

http://en.wikipedia.org/wiki/Poncelet%E … er_theorem
Řešení existuje (-:

↑ Wotton:

Možná bych to zvládl se spočetně mnoha kroky. :-) Např. půlením intervalu - nakreslím sečnu p z A a pak přímku q, která k vůbec neprotne. Pak úhel mezi těmito přímkami rozpůlím a dostanu-li sečnu - bude toto nová p a pokud ne, bude toto nová q. Otázka zní, zda je v konstrukčních úlohách povoleno provádět tyto podmíněné úvahy - tj. jestliže X, pak proveď Y, jinak proveď Z. Každopádně, je-li to povoleno, pak po spočetně mnoha krocích budu mít hledanou přímku - tečnu.

Zdravím,
1)Je povoleno pouze konečně mnoho kroků
2)Kružnice je zadána bez středu

Ani mi to tak těžké nepřijde. Zatím jsem to ověřil jen na jednom konkrétním příkladu, ale vypadá to, že s tužkou a papírem to půjde ukázat obecně. Nemám na to teď moc času, třeba se tohoto směru může někdo jiný chytnout.

Představme si, že už ony tečny máme a nemáme nic víc, než tu kružnici k a bod A mimo ni. Tak jediné, co tam ještě zajímavého vidím, je spojnice těch dvou bodů dotyku. To je přímka p. Nedá se nějak zkonstruovat dopředu?

Uvažme libovolné dvě sečny z A kružnice k. Sečna s1 vytne na kružnici dva body, řekněme K a L, sečna s2 body M a N. Volme sečny tak, aby přímky KM a LN nebyly rovnoběžné (to můžeme bez újmy na obecnosti). EDIT: K je blíž k A než L a také M je blíž k A než N.

Zdá se, že přímky KM a LN se protínají na přímce p, a to nám stačí (celý proces zopakovat dvakrát a máme sestrojenou p jen pomocí pravítka).

Fakt "přímky KM a LN se protínají na přímce p" jsem si spočítal jen pro jeden konkrétní případ, ale dostatečně obecný na to, abych si mohl dovolit tuto hypotézu. Pokud se tu nenajde nikdo, kdo by to dotáhl, zkusím si na to najít čas dnes večer. Zatím tomu svému předpokladu věřím. :-)

↑ musixx:
To je ono :), blahopřeju, jenže zkuste tu hypotézu dokázat.

Zdravím. Existuje něco, čemu se říká Pascalova věta (snad, já to pouze překládám z anglického termínu Pascal Theorem), která tvrdí toto: je-lí dán tětivový šestiúhelník ABCDEF, pak průsečíky přímek AE a BF, AD a CF, BD a CE leží na jediné přímce. Z toho plyne, že když si kromě bodů K, L, M, N vezmeme ještě obdobně definovanou dvojici bodů P, Q, tak průsečíky úhlopříček v tětivových čtyřúhelnících KLMN, KLPQ, MNPQ leží na jediné přímce. Jinými slovy množina všech průsečíků tětivových čtyřúhelíků KLMN (nezáleží na volbě přímek KL a MN, stačí jen aby procházely bodem A) tvoří přímku, označme ji p. Ze symetrie úlohy vyplývá, že tato přímka bude kolmá a přímku AS (kde S je střed naší kružnice k, ať už je kdekoliv). Dále si uvědomme, že když se přímka KL limitně blíží k tečně ke kružnici k, tak potom i průsečík úhlopříček se blíží limitně k bodu dotyku. Odtud vyplývá, že přímka p bode procházet bodem dotyku. Stačí to takhle?