Matematické Fórum

Alivendes · 18. 03. 2011 13:35

Zdravím, zabýval jsem se dokazováním vzorečků pro obsah kruhu a koule pomocí určitého integráliu ...když počítám obsah kruhu, kruh se přesune tak, aby měl střed v bodě [0,0]:
$x^2+y^2=r^2$ pak jsem si přečetl, že se obsah vypočítá 4x z jedné čtvrtiny :
$y=\sqrt{(r^2-x^2)}$
$S=4\int_0^r\sqrt{(r^2-x^2)}dx$ což nakonec mi žejo vyšlo
když jsem chtěl odvodit vzorec pro výpočet objemu koule, která vznikne rotací kruhu kolem osy x, tak jsem to také počítal jako 4x objem pro jednu čtvrtinu:
$V=4\pi\int_0^rr^2-x^2$ tohle když jsem dopočítal, tak mi vyšel 4x větší výsledek: $V=\frac{16\pi r^3}{3}$

Potřeboval bych vědět, proč se to u kruhu počítá 4x a u koule ne ...Děkuji

Rumburak · 18. 03. 2011 14:22

Číslo

$W =\pi\int_0^r (r^2-x^2)\, \mathrm{d}x$

je objem POLOKOULE - složené z bodů [x, y] příslušná koule, v nichž je navíc x > 0 . "Rotací" tam jsou zahrnuty i body,
v nichž y < 0 - narozdíl od situace, kdy integrálem

$\int_0^r \sqrt{r^2-x^2}\, \mathrm{d}x$

počítíme obsah "pravého horního" čtvrtkruhu .

Výpočet dává

$W = \pi\int_0^r (r^2-x^2)\, \mathrm{d}x = \pi\[r^2 x - \frac {1}{3}x^3\]_0 ^r = \pi$r^2 r - \frac {1}{3}r^3$r = \frac{2}{3}\pi r^3$ ,

takže z toho čtyřnásobek (= objem čtyř polokoulí) měl vjít $\frac{8}{3}\pi r^3$ .

Pokud Ti vyšlo v čitateli 16 místo 8, tak máš ve výpočtu chybu.

Matematické Fórum

#1 18. 03. 2011 13:35

Apliakce určitého integrálu

#2 18. 03. 2011 14:22

Re: Apliakce určitého integrálu

Zápatí