Matematické Fórum

fordox · 18. 03. 2011 16:10

Ahojte, mam problem s jednou parcialni derivaci. zadani je takto. f(xy)= (y + sin x)^1/2. mam problem s tim kdyz uvazuju, ze y+sinx = 0. Ve vysledku je, ze parcialni derivace podle y nemohou existovat a podle x pouze, kdyz v bodech kdy je sin roven -1 a y=1. Proc to nelze podle y vubec nejde a podle x jen v techto bodech?

Rumburak · 18. 03. 2011 16:34

Navedu nápovědnými otázkami:

1) Jak vypadá definiční obor D té funkce ? (udělej si náčrtek a soustřeď se na křivku, která je hranicí množiny D) .

2) Jak zní definice PD funkce z = f(x,y) v daném bodě podle y ? (je to jakási limita - nb. jde o limitu OBOUSTRANNOU) .

3) Co musí být především zajištěno k existenci zmíněné limity ?
(kdy má vůbec smysl zabývat se otázkou limity funkce v daném bodě ? připomeň si definici limity).

Až pochopíš situaci s PD podle y, bude Ti jasná i situace s PD podle x.

fordox · 18. 03. 2011 18:34 — Editoval fordox (18. 03. 2011 18:41)

↑ Rumburak:
myslim, ze porad tapu.
no def. obor je y+sin x vetsi nebo rovno 0. Derivaci podle ypsilon jsem pocital z definice a vyslo mi, ze tedy opravdu neexistuje, jen nevim, jestli jsem to pocital opravdu, tak jak jsem mel...pocital jsem derivaci v bode(y,-sinx) a mel jsem lim h->0, ((sin x - sinx + h) ^ 1/2) /(h)= (h^1/2)/ h. jeste jeden edit:) Tahle limita neni oboustranna.

Rumburak

↑ fordox:
Takže podroběji:

A. Abychom mohli v bodě [p,q] počítat p.d. fce z = f(x,y) podle x , potřebujeme především, aby funkce G(x) := f(x,q) ,
tj. funkce jedné proměnné x, byla definována na nějakém oboustranném okolí bodu p (abychom mohli počítat G´(p), což je
ta hledaná parc. derivace fce f podle x v bodě [p, q] ).

Obdobně:

B. Abychom mohli v bodě [p,q] počítat p.d. fce z = f(x,y) podle y , potřebujeme především, aby funkce H(y) := f(p,y) ,
tj. funkce jedné proměnné y, byla definována na nějakém oboustranném okolí bodu q (abychom mohli počítat H´(q), což je
ta hledaná parc. derivace fce f podle y v bodě [p, q]) .

Na křivce ohraničující definiční obor naší funkce lze podmínku pro A splnit jen ve výjímečných případech,
podmínku pro B tam nelze splnit nikdy. Z náčrtku grafu funkce y = -sin x , což je ta hraniční křivka, je to dobře vidět.

fordox · 20. 03. 2011 23:09

↑ Rumburak:
Nejsem si jisty, jestli to opet chapu spravne. Dava mi to smysl pro parc. derivaci podle ypsilon, ale ne uz tolik pro derivaci podle x. Chapu to takto, ze pokud mam napriklad bod[pí/2, -1] a chci to derivovat podle ypsilon tak na oboustrannem okoli neni ten bod v def oboru. Tedy pokud je ε = 1, tak okoli bodu je (-0,9,-1,1) a -1,1 uz do Df nepatri. Ale tohle nelze aplikovat na derivaci podle x. protoze pokud budu pohybovat s okolim x, tak se porad budu pohybovat pokrivce, tedy ze sin (x+ε) je stale soucasti Df. Kde je ma uvaha spatna?

Rumburak

↑ fordox:

Máme parciálně derivovat funkci f(x,y) = (y + sin x)^1/2 v bodě v bodě C = [a,b] ležícím na hranici jejího def. oboru,
tj. na křivce w, která je grafem funkce y = - sin x . Takže b = - sin a , C = [a, - sin a] .
Bod [x, y] patří do def. oboru D funkce f právě tehdy, když $y \ge - \sin x$ .

Nejprve probereme případ PD podle y , který je zde jednodušší.
Zapojme do toho trochu geometrie. Uvažujme přímku q, která prochází bodem C a zároveň je rovnoběžná s osoou y .

Aby měl smysl zlomek $\frac{f(a,b+h) - f(a,b)}{h}$ vystupující v definici $\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)$ , potřebujeme, aby existovalo
oboustranné okolí U bodu b (na ose y), tedy $U = (b-\delta, b+\delta), \delta > 0$ , takové, že funkce f je definována
na množině $M = \{a\} \times U$ , což je oboustrané okolí bodu C na přímce q . Křivka w ovšem protíná přímku q
v bodě C, takže ať zvolíme kladné číslo $\delta$ jakkoliv malé, vždy bude část množiny M ležet "pod" bodem C, tedy
mimo definční obor funkce f.

Při počíttání PD podle x je to analogické, jen zaměníme význam souřadnicových os.
Uvažujeme přímku p, která prochází bodem C a zároveň je rovnoběžná s osoou x . Nyní potřebujeme, aby existovalo
oboustranné okolí U bodu a (na ose x), tedy $U = (a-\delta, a+\delta), \delta > 0$ , takové, že funkce f je definována
na množině $M = U \times \{b\}$ , což je oboustrané okolí bodu C na přímce p .
V přípdech, kdy přímka p je tečnou ke křivce w v bodě C a leží "nad" touto křivkou, to funguje - to je případ bodů
.
Když se p, w protínají v bodě C, je situace obdobná jako u PD podle y.
Když je p tečnou k w v bodě C a leží "pod" touto křivkou, je situace ještě horší - do definičního oboru nepatří ani žádné
jednostraané okolo bodu C na přímce p.