Matematické Fórum

Riff · 19. 03. 2011 11:52

Ahojte, mám problém s vyšetřením těchto extrémů. Pomůžete mi prosím?

Lokální extrémy slovní úlohy

1) Kolikrát větší je objem koule, než je objem největšího válce, který je do ní vepsán?

2) Na válcovou konzervu se smí spotřebovat 5 dm2 bílého plechu. Jaké má mít konzerva
rozměry, aby byl její objem co největší?

3) Na rohové trojúhelníkové parcele s přeponou 8 m a úhlem 60° má být postavena chata
s obdélníkovou podstavou. Jaké musí být rozměry základů budovy, aby zastavěná plocha
byla co největší.

4) Obložení dna bazénu vyjde na 250 Kč/m2, obložení stěn na 225 Kč/m2. Určete minimální možnou cenu obložení bazénu o celkovém objemu 1000 m3 a šířce 8 m.

5) Po přímé silnici od místa A jde chodec rychlostí 1,5 m/s. V jaké vzdálenosti od výchozího
bodu A musí ze silnice odbočit, chce-li se dostat za nejkratší dobu přes louku do místa C,
které je vzdálené od silnice 5 km? Rychlost chodce po louce je 1 m/s a místo na silnici,
které je nejblíže k místu C je od A vzdáleno (ve směru, kterým jde chodec) 12 km.

Díky moc, jde mi hlavně o ten postup, řešení tu mám.

Mythic · 19. 03. 2011 12:56

1)Vycházej s průměru koule d. Což je vlastně střední příčka myšleného válce. (tento válec bude mít bokoris jako čtverec) Nemělo by být těžké ho vypočíst

Alivendes

2)obsah válce:
$5=2\pi r^2+2 \pi r v$
vyjádřím výšku:
$\frac{5-2\pi r^2}{2 \pi r}=v$
dosadím pro vzorec pro objem:
$V=2\pi r^2.\frac{5-2\pi r^2}{2 \pi r}=r(5-2\pi r^2)$
Teď derivace pro objem:
$V'=r'(5-2\pi r^2)+r(5-2\pi r^2)' \nl=(5-2\pi r^2)+r(-4\pi r)=5-6 \pi r^2$
Teď derivaci položím rovno nule:
$5-6 \pi r^2=0\nl 5=6\pi r^2\nl \frac{5}{6}=\pi r^2\nl r=\frac{\sqrt5}{\sqrt{6\pi}}$
Máme požadovaný poloměr, ten teď dosadím do vzorečku, ze kterého jsme vyjádřili výšku:
$v=\frac{5-2\pi r^2}{2 \pi r}$ vyjde že požadovaná výška je:
$v=\frac{10\sqrt{6\pi}}{3\sqrt5}$

Matematické Fórum

#1 19. 03. 2011 11:52

Lokální extrémy slovní úlohy

#2 19. 03. 2011 12:56

Re: Lokální extrémy slovní úlohy

#3 19. 03. 2011 13:22 — Editoval Alivendes (19. 03. 2011 13:35)

Re: Lokální extrémy slovní úlohy

Zápatí