Matematické Fórum

johny0222 · 19. 03. 2011 17:35

$\lim_{x\to 0,y\to 0}$\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}-1}$$

v pripade tohto prikladu som vychadzal s uz vypocitanych prikladov:
http://www.vscht.cz/mat/sbirka/KapitolaII5.pdf

$x=rcost$
$y=rsint$ $t\in<0,\pi>$ $r\in<0,\infty>$

vinde nam teda:
$\lim_{r\to 0,t\to t}(\frac{r^2}{\sqrt{r^2+1}-1})$

a v pripade, ze dosadime za r nulu tak vzray dava 0, lenze vysledok v tomto pripade je 2. Kde som urobil chybu ?

jelena · 19. 03. 2011 18:33

Opět je třeba rozšířit výrazem $\lim_{x\to 0,y\to 0}$\frac{(x^2+y^2)(\sqrt{x^2+y^2+1}+1)}{(\sqrt{x^2+y^2+1}+1)(\sqrt{x^2+y^2+1}-1)}$$

a to i v případě použití polárních souřadnic (tedy to použití je v takovém případě není nutné)

V pořádku? Děkuji.

johny0222 · 20. 03. 2011 07:24

takze kedy je vyhdne pouzit polarne suradnice ? myslim ze v tomto pripade by sa to len skomplikovalo
$\lim_{x\to 0,y\to 0}$\frac{(x^2+y^2)(\sqrt{x^2+y^2+1}+1)}{(\sqrt{x^2+y^2+1}+1)(\sqrt{x^2+y^2+1}-1)}$$

vnutrajsom by sa nasledne upravil na:

$\frac{x^3+x^2y+y^2x+y^3}{x^2+y^2}=\frac{(x^2+y^2)(x+y)}{x^2+y^2}$

teda ostalo by nam x+y a to stale dava nulu, ako sa teda dopracovat k vysledku 2 ?

jelena · 20. 03. 2011 09:46

↑ johny0222:

asi jen nepozornost při úpravě:

$\frac{(x^2+y^2)(\sqrt{x^2+y^2+1}+1)}{(\sqrt{x^2+y^2+1}+1)(\sqrt{x^2+y^2+1}-1)}=\frac{(x^2+y^2)(\sqrt{x^2+y^2+1}+1)}{(\sqrt{x^2+y^2+1})^2-1^2}=\\=\frac{(x^2+y^2)(\sqrt{x^2+y^2+1}+1)}{x^2+y^2}$

po vykrácení už můžeš dosazovat x=0, y=0.

V pořádku? Děkuji.

-------------------
Polární souřadnice - když nepomáhají jiné způsoby: přímé dosazování, úpravy výrazů, přiblížení po přímce y=kx+q apod. A když je vidět, že v polárních souřadnicích se to zjednoduší a zprůhlední. V tomto zadání, kdy se hodí úžasný vzorec 2.1 a), by to byla operace navíc a výsledek stejný:

$\frac{r^2(\sqrt{r^2+1}+1)}{(\sqrt{r^2+1}-1)(\sqrt{r^2+1}+1)}$

johny0222 · 20. 03. 2011 10:10

dakujem, vysledok sedi

Matematické Fórum

#1 19. 03. 2011 17:35

limita (12)

#2 19. 03. 2011 18:33

Re: limita (12)

#3 20. 03. 2011 07:24

Re: limita (12)

#4 20. 03. 2011 09:46

Re: limita (12)

#5 20. 03. 2011 10:10

Re: limita (12)

Zápatí