Matematické Fórum

kakadsutew

V oboru reálných čísel vyřešte soustavu kvadratických rovnic.
x2 − 3xy + y2 = −5,
3x2 − 8xy + 3y2 = −9.
Po vynasobeni prvni rovnice -3 sem se dostal k vyrazu xy=6 z toho muzu udelat nake priklady reseni napr. (x,y) --- (2,3) nebo (3,2) nebo taky (1.2,5) ??
Da se to vyresit pro uplny pocet reseni? Nebo jich bude nekonecne mnoho a budou na sobe zavyset vztahem x=6/y?
Dekuji za prispevky Kakadustew.

teolog · 19. 03. 2011 21:44 — Editoval teolog (19. 03. 2011 21:45)

↑ kakadsutew:
Rovnice xy=6 (x, y jsou reálná) má nekonečně mnoho řešení.
Ale jdete na to špatně. Pokud používáte sčítací metodu, musí Vám po sečtení jedna neznámá zmizet, což se tady nestalo. Takže bych doporučil dosazovací metodu. Z jedné rovnice vyjádřit jednu neznámou (pomocí kvadratické rovnice) a tu dosadit do druhé rovnice a spočítat druhou neznámou (opět pomocí kvadratické rovnice).

Olin · 19. 03. 2011 22:10 — Editoval Olin (19. 03. 2011 22:10)

Já bych naopak možná řekl, že na to jdeš dobře, jen je třeba to dotáhnout. Když už víme, že $xy = 6$ , můžeme vesele třeba do první rovnice dosadit $y = \tfrac 6x$ a řešit bikvadratickou rovnici.

teolog · 19. 03. 2011 22:19

↑ Olin:
Hmm, to je zajímavé řešení. Díky za rozšíření obzoru.

zdenek1 · 20. 03. 2011 07:37

Dá se vyhnout i té bikvadratické rovnici.
Když už víme, že $xy=6$ , tak v první rci
$x^2-3xy+y^2=(x+y)^2-5xy=-5$ a po dosazení
$(x+y)^2=25$
$x+y=\pm5$

a nynyí řešíme dvě soustavy
$\begin{cases}x+y=5\\xy=6\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}x_1=2;y_1=3\\x_2=3;y_2=2\end{cases}$
$\begin{cases}x+y=-5\\xy=6\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}x_3=-2;y_3=-3\\x_4=-3;y_4=-2\end{cases}$