Matematické Fórum

johny0222 · 19. 03. 2011 17:50

$\lim_{x\to 0,y\to 0}$\frac{\sqrt{x^2y^2+1}-1}{x^2+y^2}$$

v tomto pripade by sa podla mna nemoholo pouzit:
$x=rcost$
$y=rsint$

alebo v pripade ak ano, ako by sa postupovalo ?
vnutry by nam teda vznikol vyraz:
$r^2cost^2r^2sint^2$
v pripade dosadenia za r nulu by sme dostali $\frac{0}{0}$
ako bz sa to teda dalej riesilo, ked nie l´Hospitalom ?

maly_kaja_hajnejch-Lazov · 19. 03. 2011 18:57

muselo by se to nejdriv shora a zdola ohranicit necim co nezavisi na t. Snad se to povede, nezkousel jsem ...

johny0222 · 20. 03. 2011 07:26

ako myslis ohranicit niecim co nezavisi na t ?

johny0222 · 20. 03. 2011 10:25

skusal som to vynasobit menovatelom, avsak s opacnym znamienkom, len sa to komplikovalo
pouziva sa v tomto pripade nejaka ina metoda ako je vynasobenie pomocou menovatela s opacnym znamienkom, alebo pripad polarnych suradnic ?

Pavel · 20. 03. 2011 11:39

$\lim_{x\to 0,y\to 0}\frac{\sqrt{x^2y^2+1}-1}{x^2+y^2}=\lim_{x\to 0,y\to 0}\frac{(\sqrt{x^2y^2+1}-1)(\sqrt{x^2y^2+1}+1)}{(x^2+y^2)(\sqrt{x^2y^2+1}+1)}=\lim_{x\to 0,y\to 0}\frac{x^2y^2}{2(x^2+y^2)}$ .

Protože se v zlomku vyskytují pouze součty a součiny kladných čísel, platí

$0\leq\frac{x^2y^2}{2(x^2+y^2)},\qquad\forall [x,y]\in\mathbb{R}^2\setminus\{[0,0]\}.$

Navíc platí

$\frac{x^2y^2}{2(x^2+y^2)}\leq\frac{x^2y^2}{x^2}=y^2,\qquad\forall [x,y]\in\mathbb{R}^2\setminus\{[0,0]\}.$

Z věty o třech limitách pak vyplývá

$0&\leq\phantom{\lim_{x\to 0,y\to 0}}\frac{x^2y^2}{2(x^2+y^2)}\leq y^2,\qquad\forall [x,y]\in\mathbb{R}^2\setminus\{[0,0]\}\\ \lim_{x\to 0,y\to 0} 0&\leq\lim_{x\to 0,y\to 0}\frac{x^2y^2}{2(x^2+y^2)}\leq \lim_{x\to 0,y\to 0}y^2\\ 0&\leq\lim_{x\to 0,y\to 0}\frac{x^2y^2}{2(x^2+y^2)}\leq 0.$

johny0222 · 20. 03. 2011 12:56

$(x^2+y^2)\sqrt{x^2y^2+1}+1$

odkial si tam dostal $2(x^2+y^2)$
nedava mi to zaiaden suvis

jelena · 20. 03. 2011 14:25

↑ johny0222:

asi bych si představila součín limit:

$\lim_{x\to 0,y\to 0}\frac{(\sqrt{x^2y^2+1}-1)(\sqrt{x^2y^2+1}+1)}{(x^2+y^2)(\sqrt{x^2y^2+1}+1)}=\lim_{x\to 0,y\to 0}\frac{x^2y^2}{x^2+y^2} \cdot \lim_{x\to 0,y\to 0}\frac{1}{\sqrt{x^2y^2+1}+1}=\frac12\lim_{x\to 0,y\to 0}\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}$

A určitě bych napsala: "Děkuji, Pavle."

Případně vážený kolega Pavel opraví mé představy, děkuji.

...

johny0222 · 20. 03. 2011 14:37

dakujem vsetky za spolupracu, a este jedna otazocka
vo vyraze $\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}$ sa uy rovno dosadyuje nula, alebo su tam este nejake upravy ?

jelena · 20. 03. 2011 14:48

↑ johny0222:

Ty jsi můj favorit, jednoznačně :-)

Proč by potom Pavel prováděl hledání omezení, kdyby mohl rovnou dosazovat 0 (nebo i pomocí úprav) - vychází 0/0. Tedy sleduj jeho cestu ↑ Pavel:

ještě jsem zkoušela od tohoto kroku přechod na polárníé souřadnice, zda se, že by mohlo být použito: $\frac12\lim_{x\to 0,y\to 0}\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}$

Děkuji za spravedlivou kritiku.

Matematické Fórum

#1 19. 03. 2011 17:50

limita (13)

#2 19. 03. 2011 18:57

Re: limita (13)

#3 20. 03. 2011 07:26

Re: limita (13)

#4 20. 03. 2011 10:25

Re: limita (13)

#5 20. 03. 2011 11:39

Re: limita (13)

#6 20. 03. 2011 12:56

Re: limita (13)

#7 20. 03. 2011 14:25

Re: limita (13)

#8 20. 03. 2011 14:37

Re: limita (13)

#9 20. 03. 2011 14:48

Re: limita (13)

Zápatí