Matematické Fórum

A umíš si to podle té definice zapsat do rovnic?

Víš:



Snažíš se zjistit, zda platí:




Kdyby ani to nepomohlo, rozklikni text níže a pokus se dosadit za otazníky :-)

Skrytý text:




:-)

↑ Pavel Brožek:

Ne, to je nesmysl. Kdybych nebyla líná psát, podle čeho sčítám, taky jsem si toho mohla všimnout :-) S dovolením jej smaži. Děkuji.

Definuj "soubor tvoření lineárně nezávislými vektory" :-)

↑ Mars:

Ano, je pravda, že trojice vektorů, kterou z trojice l. nezávislých vektorů vytvoříš jako lin. kombinaci "{u+v-2w, 2u-v+w, u-v+2w}", je vždy též lineárně nezávsilá. Nicméně neplatí to obecně v tom smyslu, že by každá trojice vektorů, kterou vytvoříš jako lineární kombinaci lineárně nezávislých vektorů, byla též lineárně nezávislá. Kdyby v otázce bylo např. "{u-v-2w, 2u+3v+w, u+3v+2w}", tak již lineárně nezávislé vektory nezískáš.

Pokud by již u, v, w byly l. závislé, je otázka triviální. Ze tří lineárně závislých vektorů nikdy tři lineárně nezávislé nedostaneš (viz dimenze generovaného podprostoru apod.).

Z jakého důvodu nezískám lin. nezávislé vektory v případě {u-v-2w, 2u+3v+w, u+3v+2w}?

Vždyt

bude stále platit. Edit Bude za jakýchkoliv podmínek stále platit pouze pro triviální kombinaci.

To není žádné tvrzení, ty otazníky nad tou šipkou znázorňují, že "je otázka, zda platí..." :-) A (nikoli náhodou) neplatí. Jako protipříklad nabízím x=3, y=-4, z=5 (ale funguje i jakýkoli násobek těchto hodnot).

Pro vysvětlení se zkus podívat do toho, co jsem nahoře označila jako skryté.

Samozřejmě! :-) Doufala jsem, že na to přijdeš sám, ale pokud ne, tak to raději napíši explicitně, aby ti z toho nezůstal v hlavě zmatek.

Máme tedy tři "nové" vektory vytvořené z "původních" u, v, w. Snažíme se zjistit, za mají i netriviální nulové lineární kombinace (pak by byly závislé) nebo nemají (pak by byly nezávislé). Jejich lineární kombinace si můžeme obecně zapsat jako:



To se dá prostým roznásobením upravit na tvar:



(Tento výraz stále vyjadřuje všechny možné lineární kombinace "nových" vektorů, nikoli "původních").

A zkoumáme, za jakých podmínek se tento výraz rovná nulovému vektoru:



Tedy pro jaký x-násobek prvního, y-násobek druhého a z-násobek třetího nového vektoru získáme v součtunulový vektor.

Zapsáno v novém tvaru ale vidíme, jakým způsobem lineární kombinace nových vektorů odpovídají lineárním kombinacím vektorů původních.

Proto můžeme využít znalost, že

,

Tzn. využíváme lineární nezávilost původních vektorů!

Pokud si označíme

získáme z lineární nezávislosti rovnost:

tedy homogenní soustavu rovnic. To je nutná a zároveň postačující podmínka toho, aby lineární kombinace nových vektorů byla nulová.

Zmiňovaná soustava má vždy triviální řešení (což odpovídá triviální lineární kombinaci nových vektorů) a hledáme, zda má i netriviální řešení (tedy takové, že by x, y nebo z bylo různo od 0), to by odpovídalo netriviální lineární kombinaci nových vektorů.

V prvním zadaném případě je matice soustavy regulární (determinant je nenulový, jak jsem naznačovala výše), tedy soustava má pouze triviální řešení.

Ve druhém případě, který jsem dávala za příklad já, je matice soustavy singulární, tedy soustava má i netriviální řešení.

Více už asi není v mých silách k tomu dodat. Je nicméně důležité, abys nedělal ukvapené závěry jako výše. Každý krok musíš podložit argumentem.

Pokud máte někdo další sílu napsat to jinými slovy (a vysvětlit, co je třeba ověřit a nelze vynechat], budu ráda :-). Zjevně se neumím vyjadřovat pochopitelně :-)