Matematické Fórum

Mett · 19. 03. 2011 22:40 — Editoval Mett (19. 03. 2011 22:41)

Ahoj, dostal jsem za úkol vyřešit tuto goniometrickou rovnici:

Také jsem dostal nápovědu, že kořeny nebudou přesně, nýbrž budou zaokrouhleny.

Ale přesto pořád nemůžu přijít na to, jak začít. Nenašel by se tu prosím někdo, kdo by mi řekl, jak na to? Takové počáteční nakopnutí by úplně stačilo :-)

jira · 19. 03. 2011 22:58

Vyjádři si např. sinus jako $\sqrt{( 1 - \cos^2 x)}$ rovnici umocni a počítej.

Mett · 19. 03. 2011 23:15 — Editoval Mett (19. 03. 2011 23:46)

↑ jira: Ale to by muselo být $|sin(x)|$ , ne? Nebo mi něco uniká?

edit: No každopádně to zkusim, ale dneska už se mi u toho zavíraj oči. Díky

jira · 20. 03. 2011 01:08

Mett napsal(a):
↑ jira: Ale to by muselo být $|sin(x)|$ , ne? Nebo mi něco uniká?

edit: No každopádně to zkusim, ale dneska už se mi u toho zavíraj oči. Díky

Asi máš pravdu. Tak co použít vztah $\sin x = \cos\left( {\frac{\pi}{2} - x}\right)$

zdenek1 · 20. 03. 2011 08:09

uděláme substituci $x=2y$
$4\sin2y-3\cos2y+\frac52\sqrt2=0$
$16\sin y \cos y-6(\cos^2y-\sin^2y)+5\sqrt2(\sin^2y+\cos^2y)=0$
$(6+5\sqrt2)\sin^2y+16\sin y\cos y-(6-5\sqrt2)\cos^2y=0$ celou rocnici vydělíme $\cos^2y$ , což bezpečně můžeme, protože $\cos y=0$ není řešení.
$(6+5\sqrt2)\tan^2y+16\tan y-(6-5\sqrt2)=0$
$\frac D4=64+(6+5\sqrt2)(6-5\sqrt2)=50$
$\tan y=\frac{8\pm5\sqrt2}{6+5\sqrt2}$
Výrazy ještě můžeme usměrnit
$\tan y_1=\frac{1+5\sqrt2}7\ \Rightarrow\ y_1=\arctan\left(\frac{1+5\sqrt2}7\right)+k\pi\ \Rightarrow\ x_1=2\arctan\left(\frac{1+5\sqrt2}7\right)+2k\pi;\ k\in\mathbb Z$

$\tan y_2=5\sqrt2-7\ \Rightarrow\ y_2=\arctan(5\sqrt2-7)+k\pi\ \Rightarrow\ x_2=2\arctan(5\sqrt2-7)+2k\pi;\ k\in\mathbb Z$

Mett · 20. 03. 2011 11:59 — Editoval Mett (20. 03. 2011 20:13)

Wow, tak to by mě fakt nenapadlo substituovat hned na začátku. Díky moc

edit: tak jsem se k tomu večer ještě vrátil a našel jsem tam chybku
$\tan y=\frac{-8\pm5\sqrt2}{6+5\sqrt2}$

$\tan y_1=7-5\sqrt2\ \Rightarrow\ y_1=\arctan\left(7-5\sqrt2\right)+k\pi\ \Rightarrow\ x_1=2\arctan\left(7-5\sqrt2\right)+2k\pi;\ k\in\mathbb Z$

$\tan y_2=\frac{-1-5\sqrt2}7\ \Rightarrow\ y_2=\arctan\left(\frac{-1-5\sqrt2}7\right)+k\pi\ \Rightarrow\ x_2=2\arctan\left(\frac{-1-5\sqrt2}7\right)+2k\pi;\ k\in\mathbb Z$

Matematické Fórum

#1 19. 03. 2011 22:40 — Editoval Mett (19. 03. 2011 22:41)

Goniometrická rovnice

#2 19. 03. 2011 22:58

Re: Goniometrická rovnice

#3 19. 03. 2011 23:15 — Editoval Mett (19. 03. 2011 23:46)

Re: Goniometrická rovnice

#4 20. 03. 2011 01:08

Re: Goniometrická rovnice

Mett napsal(a):

#5 20. 03. 2011 08:09

Re: Goniometrická rovnice

#6 20. 03. 2011 11:59 — Editoval Mett (20. 03. 2011 20:13)

Re: Goniometrická rovnice

Zápatí