Matematické Fórum

Don Enrique

Ahoj, potřeboval bych poradit jak převést kořeny z C do oboru reálných čísel. Zkoušel jsem eulerův vzorec ale marně. nvm možná se na to ani nepoužívá. Poradíte mi někdo prosím? stačí jeden.. ostatní si odvodím..

zadání je: y^(VI) + 64y = 0 (šestá derivace)

FailED · 18. 03. 2011 12:19

Jaké by to "převedení" mělo mít vlastnosti?

Don Enrique

↑ FailED:↑ Don Enrique:
nevím, jde o to že počítám charakteristický polynom diferenciální rovnice, jehož kořeny jsou tyhle. výsledkem samotné dif. rovnice pak je určitý (fundamentální?) systém řešení ve tvaru
C_1*e^(reálný kořen charakteristického polynomu*proměnná (v mém případě x)) + C_2*e^(další kořen*x) + C_3... atd.
můžu sem hodit i zadání...

musixx · 18. 03. 2011 12:30 — Editoval musixx (18. 03. 2011 12:43)

↑ Don Enrique: Vyjde-li v tomto případě komplexní kořen $a+b{\rm i}$ charakteristického polynomu, pak -- neboť sám charakteriský polynom má reálné koeficienty -- musí být kořenem též číslo komplexně sdružené $a-b{\rm i}$ . Pro účely metod řešení soustav diferenciálních rovnic se pak používají již reálná čísla $a$ a $b$ zvlášť.

EDIT: Říká ti něco

C_1*e^(x*reálná část...)*cos(x*imaginární část...)
+
C_2*e^(x*reálná část...)*sin(x*imaginární část...)

budu-li pokračovat ve stylu, jakým jsi s tím začal?

EDIT2: Vlastně netřeba pamatovat si zvlášť oproti případu reálného kořene, stačí uvážit, co se dá dělat s exponenciálou s komplexním argumentem, jak se to projeví pro komplexně sdružené argumenty a kam se poděje to i.

Don Enrique · 18. 03. 2011 12:48

↑ musixx:
neříká
jestli narážíš na to že to není přehledné nebo na mé vyjadřování tak nabízím svou omluvu (ten TeX je běsný!, leč přehledný)
takže reálný kořen té poslední komplexně sdružené dvojice se bude bude rovnat

C_1*e(x*odmocnina(3)) * Cos[x*1/2]
+
C_2*e(x*odmocnina(3)) * Sin[x*-1/2]

???

musixx · 18. 03. 2011 12:52 — Editoval musixx (18. 03. 2011 13:04)

↑ Don Enrique: Na nic jsem nenarážel, to ne. Jen jsem se ptal, víš-li, jak postupovat když vyjde kořen komplexní. To se prostě musí vědět.

Rozlišují se tři případy: jednoduché reálné kořeny, násobné reálné kořeny a ryze komplexní kořeny. Najdi si na to teorii (která se v praxi rovná skrumáži vzorečků, které při správném vyčíslení (nebo dokonce variování) konstant C_i vedou ke kýženému cíli...

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

EDIT: To, co jsi napsal, je přesně ono. Akorát bychom se neměli bavit znova o kořeni, neboť pak už je ve hře řešení oné soustavy diferenciálních rovnic.

EDIT2: A pořád tam nedávej tu 1/2. V paralelním vlákně jsem ti ukazoval, že tam máš chybu (předpokládám, že obě tato tvoje vlákna spolu souvisí a řeší tutéž úlohu).

Rumburak

↑ Don Enrique:

Něco o tom je zde .

Don Enrique

↑ Rumburak:
prošel jsem to. prošel jsem i výsledek v učebnici. Už to do sebe zapadá. Akorát mi není jasné z toho popisu, jak převedu
komplexní
C_1*e^(2ix)
+
C_2*e^(-2ix)
na reálné
C_1*Cos[2x]
+
C_2*Sin[2x]

:'-( :'-( ...

Rumburak

↑ Don Enrique:

Je potřeba se na to podívat takto:

Pro vyjádřaní obecného řešení lze si vybrat mezi tvarem C_1*e^(2ix) + C_2*e^(-2ix) a tvarem D_1*cos[2x] + D_2*sin[2x] ,

kde čísla D_1, D_2 samozřejmě NEJSOU TATÁŽ jako čísla C_1, C_2.

Byl problém v tomto ?

Čísla D_1, D_2 se ovšem dají vyjádřit jako funkce čísel C_1, C_2 (i naopak), pokud použijeme Eulerův vzorec ,
pomocí něhož se odvodí převodní vztah mezi oběma fundamentálními systémy {e^(2ix), e^(-2ix)} a {cos[2x], sin[2x] } .

Don Enrique · 19. 03. 2011 09:40

↑ Rumburak:
no ano problém byl v tomto. Ale pořád nechápu jak ten Eulerův vztah na to napasovat. Dosadím a dál hádám bude nějaká goniometrická úprava... kterou se mi dosud nepodařilo odhalit. Poradíš?

jarrro · 19. 03. 2011 11:55 — Editoval jarrro (20. 03. 2011 11:29)

$\mathrm{e}^{2\mathrm{i}x}=\cos{\left(2x\right)}+\mathrm{i}\cdot\sin{\left(2x\right)}\nl \mathrm{e}^{-2\mathrm{i}x}=\cos{\left(2x\right)}-\mathrm{i}\cdot\sin{\left(2x\right)}$ keď to sčítaš a vydelíš dvomi tak dostaneš cos(2x)
a keď odčítaš a vydelíš 2i dostaneš sin(2x)
teda $\cos{\left(2x\right)}=\frac{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}x}}{2}\nl \sin{\left(2x\right)}=\frac{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}x}-\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}}$
$C_1\mathrm{e}^{2\mathrm{i}x}+C_2\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}x}=C_1\left(\cos{\left(2x\right)}+\mathrm{i}\cdot\sin{\left(2x\right)}\right)+C_2\left(\cos{\left(2x\right)}-\mathrm{i}\cdot\sin{\left(2x\right)}\right)=\nl=\left(C_1+C_2\right)\cos{\left(2x\right)}+\left(C_1\mathrm{i}-C_2\mathrm{i}\right)\sin{\left(2x\right)}$
$C_1\cos{\left(2x\right)}+C_2\sin{\left(2x\right)}=C_1\cdot \frac{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}x}}{2}+C_2\cdot\frac{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}x}-\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}x}}{2\mathrm{i}}=\nl=\left(\frac{C_1}{2}+\frac{C_2}{2\mathrm{i}}\right)\mathrm{e}^{2\mathrm{i}x}+\left(\frac{C_1}{2}-\frac{C_2}{2\mathrm{i}}\right)\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}x}$

Don Enrique · 19. 03. 2011 14:56

sorry čumím na to 20 minut a není mi jasná úprava mezi čtvrtým a pátým řádkem.... :'-( na konci čtvrtého to chápu, a pak tam jsou nějaká komba... a i kdyby tak jak z toho posledního řádku dostanu Cos[2x] + Sin [2x] ???

claudia · 20. 03. 2011 00:04

Podpořím kolegu Enriqua - taky tomu nerozumím :-) A to jsem se snažila. Dokonce jsem to i hledala v knize :-)

Olin · 20. 03. 2011 00:11

↑ Don Enrique:
Mezi 4. a 5. řádkem není žádná úprava, na 5. řádku začíná nový výpočet. 3. a 4. řádek ukazují, jak na základě koeficientů u exponenciál vypočítat příslušné koeficienty u goniometrických funkcí. Naopak na 5. a 6. řádku je odvozeno, jak z koeficientů u goniometrických funkcí dostat koeficienty u exponenciál.

claudia

To jsem ještě tušila, ale nevím, jak z toho vyplývá, že ty koeficienty vyjdou u sinu a cosinu reálné (pro komplexní koeficienty u exponenciály). Zkoušela jsem si to napsat i jako soustavu rovnic pro reálnou a imaginární složku zvlášť, jestli z toho něco nevyjde, ale je to spíše zmatek.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Nebo ty koeficienty u exponenciál jsou také reálné (tím by to bylo vysvětleno pro mne :-D)

Olin · 20. 03. 2011 00:52

↑ claudia:
Možná to nechápu úplně správně, ale myslím, že tady z těch převodů to nijak nevyplývá. Myslím, že záleží, v jakém kontextu se na věc podíváme. Při řešení diferenciálních rovnic obvykle chceme, aby byly výsledky reálné funkce, proto nakonec chceme, aby byly koeficienty u goniometrických funkcí reálné.

jarrro · 20. 03. 2011 11:24 — Editoval jarrro (20. 03. 2011 11:42)

↑ Olin:↑ claudia:↑ Don Enrique:
ja som uvažoval komplexné koeficienty aj v jednej aj v druhej báze len som chcel ukázať vzťahy medzi súradnicami v tých bázach teda,že platí
$\forall x;C_1\cos{2x}+C_2\sin{2x}=D_1\mathrm{e}^{2\mathrm{i}x}+D_2\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}x}\Leftrightarrow D_1=\frac{C_1}{2}+\frac{C_2}{2\mathrm{i}}\wedge D_2=\frac{C_1}{2}-\frac{C_2}{2\mathrm{i}}\nl\forall x;D_1\cos{2x}+D_2\sin{2x}=C_1\mathrm{e}^{2\mathrm{i}x}+C_2\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}x}\Leftrightarrow D_1=C_1+C_2\wedge D_2=C_1\mathrm{i}-C_2\mathrm{i}$
rozdelil som TeX v pôvodnom príspevku snáď je to zrozumiteľnejšie
samozrejme,že pri reálnych koeficientoch v exponenciálnej báze nedostaneme vždy reálne funkcie ani naopak.Lineárne obaly množín
$\{\mathrm{e}^{2\mathrm{i}x};\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}x}\}$ a $\{\cos{2x};\sin{2x}\}$ sa rovnajú len pri komplexných súradniciach pri reálnych nie

claudia

↑ jarrro:↑ Olin:

Děkuji, já myslela, že se tvrdí, že ta úprava nějakým zázrakem udělá z komplexních koeficientů u exponenciál reálné koeficienty u sin a cos. (když název tématu je přibližně převod z C do R). Ale tak se to zřejmě nemyslelo. (Pokud to chápu, už ty koeficienty u exponenciál se volí reálné. Tím se to pro mne vysvětluje.)

Olin · 20. 03. 2011 12:23

↑ claudia:
Pro reálnost funkce nestačí, aby se u exponenciál volily reálné koeficienty - koeficienty u gon. fcí budou reálné právě tehdy, když koef. u exp. budou komplexně sdružené.

claudia · 20. 03. 2011 13:05

↑ Olin:

Děkuji. Zkusila jsem si to rozmyslet sama.

Pokud si zvolím exponenty sdružené (jako kořeny jsou):

$\alpha = a+b\mathrm{i},\ \overline{\alpha} = a-b\mathrm{i},\ \alpha \in \mathbb{C}$

A koeficienty reálné:

$r, s \in \mathbb{R}$

A převedu do goniometrického tvaru:

$r\mathrm{e}^\alpha+s\mathrm{e}^{\overline{\alpha}} &=r\mathrm{e}^{a+b\mathrm{i}}+s\mathrm{e}^{a-b\mathrm{i}} =r\mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{b\mathrm{i}}+s\mathrm{e}^{a}\mathrm{e}^{-b\mathrm{i}} =\mathrm{e}^{a}$r\mathrm{e}^{b\mathrm{i}}+s\mathrm{e}^{-b\mathrm{i}}$ =\\&=\mathrm{e}^{a}$r\(\cos b + \mathrm{i}\sin b$+s$\cos b - \mathrm{i}\sin b$\) =\\&=\mathrm{e}^{a}$r\cos b + r\mathrm{i}\sin b+s\cos b - s\mathrm{i}\sin b$ =\\&=\mathrm{e}^{a}$\(r+s$\cos b + $r-s$\mathrm{i}\sin b\) =\\&=\mathrm{e}^{a}$r+s$\cos b + \mathrm{e}^{a}$r-s$\mathrm{i}\sin b$

Obecně tedy neplatí $\mathrm{e}^{a}$r-s$\mathrm{i}\in \mathbb{R}$ , ale platilo by to, pokud by $r=\overline{s}$ .

Ale pokud bychom zároveň chtěli, aby $r, s \in \mathbb{R}$ pak by nutně muselo být $r=s$ .

Problém zjevně je, nechápu, co to znamená vzhledem k řešitelnosti té diferenciální rovnice :-) Ale to asi nevadí, to přijde časem, až nám to někdo přednese :-)

Matematické Fórum

#1 18. 03. 2011 12:07 — Editoval Don Enrique (18. 03. 2011 12:26)

převedení kořenů z C do R

#2 18. 03. 2011 12:19

Re: převedení kořenů z C do R

#3 18. 03. 2011 12:23 — Editoval Don Enrique (18. 03. 2011 12:24)

Re: převedení kořenů z C do R

#4 18. 03. 2011 12:30 — Editoval musixx (18. 03. 2011 12:43)

Re: převedení kořenů z C do R

#5 18. 03. 2011 12:48

Re: převedení kořenů z C do R

#6 18. 03. 2011 12:52 — Editoval musixx (18. 03. 2011 13:04)

Re: převedení kořenů z C do R

#7 18. 03. 2011 13:33 — Editoval Rumburak (18. 03. 2011 13:33)

Re: převedení kořenů z C do R

#8 18. 03. 2011 14:02 — Editoval Don Enrique (18. 03. 2011 14:03)

Re: převedení kořenů z C do R

#9 18. 03. 2011 14:36 — Editoval Rumburak (18. 03. 2011 16:13)

Re: převedení kořenů z C do R

#10 19. 03. 2011 09:40

Re: převedení kořenů z C do R

#11 19. 03. 2011 11:55 — Editoval jarrro (20. 03. 2011 11:29)

Re: převedení kořenů z C do R

#12 19. 03. 2011 14:56

Re: převedení kořenů z C do R

#13 20. 03. 2011 00:04

Re: převedení kořenů z C do R

#14 20. 03. 2011 00:11

Re: převedení kořenů z C do R

#15 20. 03. 2011 00:21 — Editoval claudia (20. 03. 2011 00:22)

Re: převedení kořenů z C do R

#16 20. 03. 2011 00:52

Re: převedení kořenů z C do R

#17 20. 03. 2011 11:24 — Editoval jarrro (20. 03. 2011 11:42)

Re: převedení kořenů z C do R

#18 20. 03. 2011 11:43 — Editoval claudia (20. 03. 2011 11:48)

Re: převedení kořenů z C do R

#19 20. 03. 2011 12:23

Re: převedení kořenů z C do R

#20 20. 03. 2011 13:05

Re: převedení kořenů z C do R

Zápatí