Matematické Fórum

↑ check_drummer:

Můžu se jen zeptat, jestli znáš nějaký relativně jednoduchý důkaz? Protože ty, které jsem našel na internetu, bych asi nevymyslel.

Já bych to viděl takto:

Obecně (v ne nutně komutativním světě) uvážit 1. Sylowovu větu, která zaručuje existenci alespoň jedné p-podgrupy. Skoro mám pocit, že tady nastolená otázka je vlastně jen přeformulací 1. Sylowovy věty (ona má ještě benefit v podobě jakéhosi vyčíslení "kp+1" počtu těch podgrup).

Máme-li p-podgrupu, prvky v ní mají řád mocniny p, takže vhodná mocnina každého prvku z p-podgrupy je prvek řádu p.

V komutativním světě, pokud by to stačilo, máme větu o klasifikaci konečných komutativních grup (až na izomorfismus je každá vhodným součinem mocnin grup ), odkud je hledaný prvek vlastně hned vidět (až na jednu , kde beru její generátor, beru všude jinde jedničky).

↑ musixx:
Ovšem samotný důkaz těchto vět není zcela zřejmý. Existuje nějaký přímočarý důkaz nastíněné věty? (Obecně pro nekomutativní grupy.)

↑ musixx:
Pod "větou" jsem měl na mysli právě Cauchyovu větu, nikoli Sylowovy.

↑ check_drummer:

Já to znám přes akci grupy na množině. Nevím, jestli je to dost přímočaré, ale určitě je to celkem hezký důkaz.

Tj. toto:

EDIT: Jde o stejný důkaz, jako v článku, na nějž odkazuje ↑ vanok:. (Nevěděl jsem to.)

Skrytý text:

Nechť je konečná grupa, prvočíslo takové, že .
Označmě
Pak (kdykoli zvolím prvních (p-1) prvků , existuje právě jeden prvek, jak p-tici doplnit tak, aby náležela do , a sice prvkem ). Tedy speciálně .
Uvažme akci grupy na definovanou (tj. "cyklické přetočení o k pozic jedním směrem"). Je jasné, že je to zobrazení na dobře definováno (stačí si uvědomit, že tedy tyto prvky komutují) a že je to skutečně akce na .
Nahlédneme, že orbity této akce jsou dvojího typu: buď jednoprvkové (pokud ), nebo p-prvkové (kdykoli jindy).
Označme počet jednoprvkových orbit a počet p-prvkových orbit. pak je jasné, že . Jelikož však a je přirozené číslo, musí nutně . Zároveň je prvek, který má jednoprvkovou orbitu. Tedy a tedy . V grupě tedy existuje prvek že . Vzhledem k tomu, že je prvočíslo, už nutně musí platit .

↑ OiBobik:

Ahoj  si si nevsimol, referencie clanku o ktorom som pisal trochu vyssie ↑ vanok: . Ide v nom vlastne o prvy znamy dokaz, uplne isty ako ten tvoj.

To iste pomoze kolegom, ze maju prelozenu dokonalu verziu.

↑ OiBobik:
Ahoj,
Vsak sme to dali na jasno vdaka konstruktivnemu dialogu, a ani ja som ta v ziadnom pripade nechcel urazit, ale ten dokaz, co som citoval je ako sa zda prvy dokaz tohto typu.
Inac by bolo zaujimave, najst v literature, historicky vyvin dokazov tejto vety ( ktorej autor je pravdepodobne Cauchy).