Matematické Fórum

ivec · 21. 03. 2011 12:56 — Editoval ivec (21. 03. 2011 13:02)

predpokladam ze to treba vyriesit logaritmovanim, no neviem prist na ziaden spravny sposob, vedeli by ste poradit?

respektive tiez nieco podobne

neviem ako na tento typ exponencionalnych

musixx · 21. 03. 2011 13:12 — Editoval musixx (21. 03. 2011 13:17)

↑ ivec: Na velké logaritmování bych to neviděl, možná až někde na konci řešení. Spíše bude ve hře kvadratická rovnice a nějaké ta substituce pro přehlednost.

Co třeba tak $2^{\frac{x-y}2}=z$ , resp. $2^{x-2y}=z$ a uvážit třeba to, že $2^{-a}=\frac1{2^a}$ , resp. $4^a=2^{2a}=\left(2^a\right)^2$ .

Alivendes

↑ ivec:
Zdravím příteli, řekl bych, že se jedná o soustavu dvou exponenciálních rovnice...
Musíme nejdřív obě rovnice upravit tak, aby tam byl stejný základ.
$2^{\frac{x-y}{2}}+2^{\frac{y-x}{2}}=\frac{5}{2}\nl 2^{\frac{x-y}{2}}+{\frac{1}{2^{(x-y)/2}}}=\frac{5}{2}\nl subat: 2^{\frac{x-y}{2}}=a \rightarrow a+\frac{1}{a}=\frac{5}{2}\nl 2a^2-5a+2=0 | a_1=2 a_2=\frac{1}{2}\nl 2^{\frac{x-y}{2}}=2| \frac{x-y}{2}=1 \nl 2^{\frac{x-y}{2}}=\frac{1}{2}| \frac{x-y}{2}=-1$

U druhé rovnice budeme postupovat podobně:

$4^{x-2y}-7.2^{x-2y}=8 \nl (2^{x-2y})^2-7.2^{x-2y}=8\nl subst:a=2^{x-2y} \rightarrow a^2-7a-8=0|(a+1)(a-8)=0 |a_1=-1, a_2=8 \nl2^{x-2y}=-1 \rightarrow nelze \nl2^{x-2y}=8 \rightarrow x-2y=3$

protože nám vypadlo jedno řešní z téhle rovnice, druhé řešení z 1. rovnice také postrádá smysl. budeme tedy řešit soustavu:
$\frac{x-y}{2}=-1 \nl x-2y=3\nl x=-7 \wedge y=-5$

ivec · 21. 03. 2011 13:52

jj v oboch pripadoch sa jedna o sustavu rovnic, a dakujem Vam, velmi ste mi pomohli objavit v tom tu jednoduchost;)

Alivendes · 21. 03. 2011 14:01

Není za co :)

musixx · 21. 03. 2011 14:32

Bohužel má ↑ Alivendes: v rozkladu $a^2-7a-8$ chybu. Správně to vede na $x-2y=3$ .

Dále nerozuním tomu, proč by mělo být diskriminováno druhé řešení první rovnice jen proto, že druhá rovnice má jen jedno reálné řešení. To také není pravda, ↑ Alivendes: nemá pravdu v "protože nám vypadlo jedno řešní z téhle rovnice, druhé řešení z 1. rovnice také postrádá smysl".

Je třeba vyšetřit obě řešení první rovnice vůči jedinému řešení druhé rovnice.

Máme dva výsledky:
x=1, y=-1
a
x=-7, y=-5

Alivendes · 21. 03. 2011 14:47

↑ musixx: Opravil jsem ty první výsledky, jak jsi to ale řešil dál když tam vylezlo u toho $2^{x-2y}=-1$

musixx · 21. 03. 2011 14:50 — Editoval musixx (21. 03. 2011 14:54)

↑ Alivendes: O tom řeč není. Kde se ztratila soustava
$\frac{x-y}{2}=-1\\x-2y=3$ ?

EDIT: A když už opravuješ, tak se ti nějak z 'a' stalo na chvíli 'x', což je zrovna tady dost nepříjemné, protože 'x' tu je použito úplně v jiném kontextu.

EDIT2: A také to oddělování svislou čarou na jednom řádku přehlednost moc nezvyšuje...

Alivendes · 21. 03. 2011 14:55

↑ musixx:
To je překlep, jak si se ale dostal ktěm druhým výsledkům ?

musixx · 21. 03. 2011 14:59 — Editoval musixx (21. 03. 2011 14:59)

↑ Alivendes: Vždyť to tam máš vlastně všechno sám, akorát díky těm svislým čarám -- jak už jsem psal -- nepřehledně a asi jsi se v tom sám ztratil.

Takže:

První rovnice je ekvivalentní tvrzení $\frac{x-y}2=1\ \ \ \lor\ \ \ \frac{x-y}2=-1$ . Druhá je ekvivalentní tvrzení $x-2y=3$ . Odtud máme dvě soustavy, a to

x-y=2
x-2y=3

a

x-y=-2
x-2y=3

a obě dají řešení, mnou již výše zmíněná.

Alivendes · 21. 03. 2011 15:28

↑ musixx:
Už to vidím, Děkuji :)

Matematické Fórum

#1 21. 03. 2011 12:56 — Editoval ivec (21. 03. 2011 13:02)

exponencionalna rovnica

#2 21. 03. 2011 13:12 — Editoval musixx (21. 03. 2011 13:17)

Re: exponencionalna rovnica

#3 21. 03. 2011 13:46 — Editoval Alivendes (21. 03. 2011 14:55)

Re: exponencionalna rovnica

#4 21. 03. 2011 13:52

Re: exponencionalna rovnica

#5 21. 03. 2011 14:01

Re: exponencionalna rovnica

#6 21. 03. 2011 14:32

Re: exponencionalna rovnica

#7 21. 03. 2011 14:47

Re: exponencionalna rovnica

#8 21. 03. 2011 14:50 — Editoval musixx (21. 03. 2011 14:54)

Re: exponencionalna rovnica

#9 21. 03. 2011 14:55

Re: exponencionalna rovnica

#10 21. 03. 2011 14:59 — Editoval musixx (21. 03. 2011 14:59)

Re: exponencionalna rovnica

#11 21. 03. 2011 15:28

Re: exponencionalna rovnica

Zápatí