Matematické Fórum

helleste · 21. 03. 2011 23:04

Ahoj, mám trochu problém s jedním příkladem.

Zadání jest:

Předpokládejte, že A je symetrická matice (tj. je čtvercová a pro její prvky
platí a_ij = a_ji). Rozhodněte, zda pak je A^2 také symetrická matice.
Pokud ano, pečlivě své tvrzení zdůvodněte, pokud ne, najděte protipříklad.

Vím, že A^2 je také symetrická. Dokážu to krásně zdůvodnit například pro matice typu (3,3), ale nevím jak to dokázat obecně pro matice (n,n). Vidím, to ale prostě to nedokážu zapsat. Poradí někdo? :)

Díky!

claudia

Snad nelžu, když naznačím:

$$A^2$_{ij}\stackrel{\text{def}}{=}\sum_{k=1}^n $A$_{ik}\cdot$A$_{kj}\stackrel{\text{sym}}{=}\sum_{k=1}^n $A$_{ki}\cdot$A$_{jk}\stackrel{\text{komut}}{=}\sum_{k=1}^n $A$_{jk}\cdot$A$_{ki}\stackrel{\text{def}}{=}$A^2$_{ji},\;$i,j\in\{1\ldots n\}$$

helleste

↑ claudia:

Díky moc. Napadlo mě ještě jedno řešení, ale nevím zda-li postačuje. Vypadá až moc jednoduše :)

Vycházím z předpokladu, že u symetrické matice platí $A^T=A$
$(A^2)^T=(A * A)^T=A^T * A^T= A * A= A^2$

claudia · 22. 03. 2011 01:54

↑ helleste:

Přijde mi to v pořádku.

Má-li být zdůvodnění "pečlívé", pak možná spíše než implikaci $\text{matice je symetrická}\Rightarrow A^T=A$ využíváš ekvivalenci $\text{matice je symetrická}\Leftrightarrow A^T=A$ , protože jsi dokázal $$A^2$^T=A^2$ a chceš z toho zpětně vyvodit, že $A^2$ je symetrická.

Matematické Fórum

#1 21. 03. 2011 23:04

Symetrické matice

#2 22. 03. 2011 00:17 — Editoval claudia (22. 03. 2011 00:22)

Re: Symetrické matice

#3 22. 03. 2011 00:52 — Editoval helleste (22. 03. 2011 00:54)

Re: Symetrické matice

#4 22. 03. 2011 01:54

Re: Symetrické matice

Zápatí