Matematické Fórum

leniczcha · 23. 03. 2011 12:36

Prosím jen o kontrolu:

Určete maximální intervaly monotonie a lokální extrémy funkce y:

pro a = <1,4>

y = x^3 + 3x^2 - 45x + 2

Rostoucí: <3,4>
Klesající: <1,3>
V bodě 3 je minumum

Stýv · 23. 03. 2011 14:08

souhlasí. pro kontrolu můžeš použít stroj

Alivendes

↑ leniczcha:
Zdravím :), derivací bude kvadratický trojčlen:
$y=x^3+3x^2-45x+2$
$y'=3x^2+6x-45$
$y''=6x+6$

Lokální extrémy jsou v bodě, kde jse první derivace rovna nule:
$3x^2+6x-45=0$
$3(x+5)(x-3)=0$
$x_1=-5 x_2=3$

Dále, funkce má lokální minimum v bodě, kde je první derivace rovna nule a druhá derivace kladná- dosadíme bod x=3 do rovnice 2. derivace:
$6.3+6=24$ funkce má v bodě x=3 lokální minimum.

Dále funkce má lokální maximum v bodě, kde je první derivace rovná nule, a druhá derivace záporná-dosadíme 2. stacionární bod -5:
$6.(-5)+6=-24$ funkce má v bodě x=-5 lokální minimum

Vyšetřování monotonosti:
funkce je rostoucí v intervale, kde je první derivace kladná, řešíme kvadratickou nerovnici:
$3x^2+6x-45>0$
$x \epsilon (-\infty,-5) \cup(3,\infty)$ Funkce je tedy rostoucí pro $x \epsilon (-\infty,-5) \cup(3,\infty)$

Analogicky, funkce je klesající na intervalu, kde je první derivace záporná, proto řešíme nerovnici:
$x^2+6x-45<0$
$x \epsilon (-5,3)$ funkce je tedy klesající pro $x \epsilon (-5,3)$

Dále potom můžeme hledat inflexní body, to jsou místa, kde funkce přechází z konvexní na konkávní nebo naopak. To jem místo, kde je druhá derivace rovna nule:
$6x+6=0$
$x=-1$
funkce v bodě -1 přechází z konvexní na konkávní .
To by mělo být všechno :) Přeji hezký den.
Omylem jsem si špatně přečetl zadání a spočetl jsem to na celém definičním oboru a bylo mi líto smazat :)

Matematické Fórum

#1 23. 03. 2011 12:36

Intervaly monotonie a lokální extrémy funkce

#2 23. 03. 2011 14:08

Re: Intervaly monotonie a lokální extrémy funkce

#3 23. 03. 2011 14:20 — Editoval Alivendes (23. 03. 2011 14:20)

Re: Intervaly monotonie a lokální extrémy funkce

Zápatí