Matematické Fórum

jira · 23. 03. 2011 23:57

Zdravím,

úloha: "Kolika způsoby je možné na šachovnici 8x8 vybrat tři pole tak, aby neležela všechna v témže sloupci?".

Myslel jsem, že se použije pravidlo součinu: 64 * (7 * 8) * (6 * 8), ale nevychází to. Má vyjít 41 216.

zdenek1 · 24. 03. 2011 05:50

↑ jira:
počet výběrů libovolných 3 polí mínus počet výběrů tří polí v jednom sloupci
${64\choose3}-8\cdot{8\choose3}$

jira · 24. 03. 2011 13:42 — Editoval jira (24. 03. 2011 14:17)

↑ zdenek1:

Díky.

Kombinace, protože nezáleží na pořadí?

Ještě mi to asi není uplně jasné. Proč se např u následujici úlohy použije pravidlo součinu (32 * 32 * 31)?

"Kolika způsoby je možno na čtvercové šachovnici s 64 poli vybrat 3 pole tak, aby všechna tři pole neměla stejnou barvu? "

Honzc · 24. 03. 2011 14:57

↑ jira:
No protože třeba nejprve budeme uvažovat, že je bílá - těch je 64/2=32, pak že je černá, opět 32, ale pak už zbývá pouze 31 bílých nebo černých.

Rumburak

↑ jira:

Odpovídám na otázku

jira napsal(a):
↑ zdenek1:
Proč se např u následujici úlohy použije pravidlo součinu (32 * 32 * 31)?

"Kolika způsoby je možno na čtvercové šachovnici s 64 poli vybrat 3 pole tak, aby všechna tři pole neměla stejnou barvu? "

Při výběru 3 polí v úloze nezáleží na pořadí, tedy úplně všech možností (bez ohledu na stanovenou podmínku) je ${64\choose3}$ .
V tom jsou zahrnuty i případy, kdy je stanovená podmínka úlohy porušena tím, že

(a) všechna tři vybraná pole jsou černá , což je ${32\choose3}$ možností,

(b) všechna tři vybraná pole jsou bílá , což je rovněž ${32\choose3}$ možností.

Každý tříprvkový výběr může mít nanejvýše jednu z vlastností (a), (b), nikdy ne obě zároveň,
proto počet tříprvkových výběrů majících některou z vlastností (a), (b) je roven ${32\choose3}+{32\choose3} = 2{32\choose3}$ .

Takže počet tříprvkových výběrů, které splňují podmínku úlohy, bude ${64\choose3}-2{32\choose3}= 32^2\cdot 31$ .

Prostě to tak vyjde, o žádné "pravidlo součinu" zde nejde.

zdenek1 · 24. 03. 2011 15:06

Já bych to dělal ještě jinak
vyberu barvu, od které budou dvě pole ${2\choose1}$
vyberu dvě pole dané barvy ${32\choose2}$
vyberu jedno pole doplňkové barvy ${32\choose1}$
výběry jsou nezávislé, takže ${2\choose1}{32\choose2}{32\choose1}$

Také si myslím, že to není pravidlo součinu. Jen to tak vypadá.