Matematické Fórum

strife · 25. 03. 2011 14:17

Zdravím, mám problém s výpočtem integrálu iracionální funkce $\int \sqrt{x^2 + 4x + 3} \mathrm{d}x$ ... podle klíče by to mělo vyjít $\frac14 (2x+4) \sqrt{x^2 + 4x + 3} - \frac12 \ln (x + 2 + \sqrt{x^2 + 4x + 3})$ , mě tam ale místo logaritmu vychází arcussinus a nemůžu přijít na to, proč. Budu velmi vděčný za pomoc. Děkuju.

claudia · 25. 03. 2011 14:49

Tedy by snad bylo nejlepší napsat i postup, který používáš :-) Jinak těžko hádat, proč ti to tak vychází.

strife · 25. 03. 2011 15:16

jasně, postup jsem zvolil takovýto : $\int \sqrt{(x+2)^2 - 1}\mathrm{d}x$ , pak jsem zadal substituci $x + 2 = t$ , takže jsem dostal integrál $\int \sqrt{t^2 - 1}\mathrm{d}x$ , pak jsem použil goniometrickou substituci $t = \sin a$ a dostal toto $\int \cos^2 a \mathrm{d}a = \int (\frac12 \cos 2a + \frac12)\mathrm{d}a = \int \frac12\mathrm{d}a + \frac12 \int \cos 2a\mathrm{d}a$ , další substituce $2a = s$ , tedy $\int \frac12\mathrm{d}a + \frac14 \int \cos s \mathrm{d}s = \frac{a}{2} + \frac{\sin s}{4} = \frac12 \arcsin (x + 2) + \frac{\sin 2a}{4} = \frac12 \arcsin (x + 2) + \frac12 t \sqrt{t^2 - 1} = \frac12 \arcsin (x + 2) + \frac12 (x + 2) \sqrt{x^2 + 4x + 3}$ ... toť vše, snad jsem se neupsal někde :-)

claudia

Použiji Eulerovu substituci:

$\sqrt{x^2 + 4x + 3} &= x + t\\ x^2 + 4x + 3 &= x^2 +2xt + t^2\\ 4x + 3 &= 2xt + t^2\\ 4x -2xt &= t^2 - 3\\ x &= \frac{t^2 - 3}{4 -2t}$

Tedy $\sqrt{x^2 + 4x + 3} = \frac{t^2 - 3}{4 -2t} + t$ a zároveň $\mathrm{d}x= -\frac{3 - 4 t + t^2}{2 (-2 + t)^2} \mathrm{d}t$

$\int \sqrt{x^2 + 4x + 3} \mathrm{d}x &= \int $\frac{t^2 - 3}{4 -2t} + t$ $-\frac{3 - 4 t + t^2}{2 (-2 + t)^2}$ \mathrm{d}t =\\&= \int -\frac{\left(t^2-4 t+3\right)^2}{4 (t-2)^3} \mathrm{d}t =\\&= \int -t+\frac{2}{t-2}-\frac{1}{(t-2)^3}+2\ \mathrm{d}t$

A z toho členu $\frac{2}{t-2}$ získáme onu část $2 \log$t-2$= 2 \log$\sqrt{x^2 + 4x + 3} -x -2$$

claudia

↑ strife:

Ta substituce sinu se mi moc nezdá, dokázal bys to nějak podložit?

strife · 25. 03. 2011 15:29

aha, to mě nenapadlo... no já podobný příklad řešil právě přes substituci goniometrických funkcí, přes ten sinus a vyšlo to... tohle je asi přeci jen trochu jiný případ

claudia

Ta substituce sinu se dá použít pro $\sqrt{1-x^2}$ , že by i pro $\sqrt{x^2 - 1}$ , to se mi nezdá (nicméně potřebuji sama ještě mnoho docvičit :-).

strife · 25. 03. 2011 15:38

já si právě říkal, že to snad půjde a ono asi ne :-) děkuji tedy za pomoc, teď už to snad dopočítám

Kondr · 25. 03. 2011 15:56

↑ claudia: $\sqrt{x^2 - 1}$ je definováno všude mimo interval (0,1), sinus nepřichází v úvahu -- jedině snad $x=1/\sin(t)$ , pak $\sqrt{x^2 - 1}=\cotan t$ . Ale Eulerova substituce je jistější.

Matematické Fórum

#1 25. 03. 2011 14:17

Integrace iracionální funkce 1

#2 25. 03. 2011 14:49

Re: Integrace iracionální funkce 1

#3 25. 03. 2011 15:16

Re: Integrace iracionální funkce 1

#4 25. 03. 2011 15:18 — Editoval claudia (25. 03. 2011 15:19)

Re: Integrace iracionální funkce 1

#5 25. 03. 2011 15:21 — Editoval claudia (25. 03. 2011 15:22)

Re: Integrace iracionální funkce 1

#6 25. 03. 2011 15:29

Re: Integrace iracionální funkce 1

#7 25. 03. 2011 15:32 — Editoval claudia (25. 03. 2011 15:33)

Re: Integrace iracionální funkce 1

#8 25. 03. 2011 15:38

Re: Integrace iracionální funkce 1

#9 25. 03. 2011 15:56

Re: Integrace iracionální funkce 1

Zápatí