Matematické Fórum

Aquabellla · 26. 03. 2011 14:04

Zdravím, prosím, jak by se dokázal tento příklad?

Dokaž, že součin vzdáleností libovolného bodu hyperboly od obou jejích asymptot je konstantní a roven (a^2 . b^2) / e^2

Pokoušela jsem si vyjádřit obecně přímky, které procházejí libovolným bodem hyperboly a jsou kolmé na asymptoty. Potom udělat vzdálenost libovolného bodu od průniku přímky s asymptotou...ale vyšly mi hrozné výrazy, které snad nelze upravit a myslím si, že to jde určitě jednodušeji. Předem děkuji za pomoc.

Dana1 · 26. 03. 2011 15:27 — Editoval Dana1 (26. 03. 2011 21:44)

↑ Aquabellla:

Pre vzdialenosť bodu $[x_0;y_0]$ od priamky $ax + by + c = 0$ platí

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Nech $v_1$ je vzdialenosť od asymptoty $y=\frac{b}{a}x$ a $v_2$ je vzdialenosť od asymptoty $y=-\frac{b}{a}x$

Potrebujeme vypočítať súčin $v_1\cdot v_2$ . Po dosadení do vzťahu pre vzdialenosť bodu $H[x_H;y_H]$ hyperboly od asymptôt:

$v_1=\frac{|\frac{b}{a}x_H +y_H|}{\sqrt { \frac {b^2}{a^2}+1}}$ , podobne $v_2=\frac{|-\frac{b}{a}x_H +y_H|}{\sqrt { \frac {b^2}{a^2}+1}}$

Súčin bude:

$v_1\cdot v_2=\frac{|\frac{b}{a}x_H +y_H|\cdot|-\frac{b}{a}x_H +y_H|}{\frac{b^2}{a^2}+1}$

Pretože súradnice $x_H$ a $y_H$ spĺňajú rovnicu hyperboly $\color{blue}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ , pre $(x_H)^2$ platí $\color{red}(x_H)^2= a^2 + \frac{(y_H)^2}{b^2}\cdot a^2$

Platí tiež, že súčin absolútnych hodnôt = absolútna hodnota súčinu. Násobila som výrazy v čitateli najprv bez absolútnych hodnôt. Dostala som:

$(y_H)^2 - \frac{b^2}{a^2}\color{red}(x_H)^2\color{black}=(y_H)^2 - \frac{b^2}{a^2}\color{red}\left(a^2+\frac{a^2}{b^2}(y_H)^2\right)\color{black}=(y_H)^2-b^2-(y_H)^2= -b^2$

Urobila som absolútnu hodnotu $|-b^2|= b^2$

Po dosadení do vzťahu

$v_1\cdot v_2=\frac{|\frac{b}{a}x_H +y_H|\cdot|-\frac{b}{a}x_H +y_H|}{\frac{b^2}{a^2}+1}$

vyjde
$v_1\cdot v_2=\frac{\frac{b^2}{1}}{\frac{b^2+a^2}{a^2}}=\frac{a^2\cdot b^2}{b^2+a^2}=\frac{a^2b^2}{e^2}$ , čo bolo treba dokázať.

Možno sa dôkaz dá urobiť oveľa jednoduchšie - potom sa ospravedlňujem za zdĺhavosť a zložitosť...
A je to len pre hyperbolu so stredom v počiatku súradnicovej sústavy...

Aquabellla · 26. 03. 2011 17:19

↑ Dana1:

Tak teď už to všechno chápu, mockrát děkuji za tvou námahu!

zdenek1 · 26. 03. 2011 17:21

Jen malý detail
$v_1=\frac{|\frac{b}{a}x_H \color{red}-y_H|}{\sqrt { \frac {b^2}{a^2}+1}}$

$v_2=\frac{|\frac{-b}{a}x_H \color{red}-y_H|}{\sqrt { \frac {b^2}{a^2}+1}}$

Aquabellla · 26. 03. 2011 17:24

↑ zdenek1:

no jo, pravda, ale naštěstí to výsledek nemění :-)

zdenek1 · 26. 03. 2011 17:28

↑ Aquabellla:
Ano výsledek to nemění, to bych nepsal "malý detail".

PS ta úprava jmenovatel od DAny je pěkná, ale já osobně bych ho roznásobil podle vzorce $(a-b)(a+b)$ . Zdá se mi to podstatně kratší.

Dana1 · 26. 03. 2011 17:29 — Editoval Dana1 (27. 03. 2011 00:21)

↑ zdenek1:

Myslela som, že:

$\color{red}y\color{black}&=-\frac{b}{a}x \color{blue}/+\frac{b}{a}x\\\color{blue}+\frac{b}{a}x\color{red}+y&\color{black}=0$

$\color{red}y\color{black}&=\frac{b}{a}x\color{blue}/-\frac{b}{a}x\\\color{blue}-\frac{b}{a}x\color{red}+y&\color{black}=0$

Je to snáď chybne?

Matematické Fórum

#1 26. 03. 2011 14:04

Součin vzdáleností bodu hyperboly od asymptot

#2 26. 03. 2011 15:27 — Editoval Dana1 (26. 03. 2011 21:44)

Re: Součin vzdáleností bodu hyperboly od asymptot

#3 26. 03. 2011 17:19

Re: Součin vzdáleností bodu hyperboly od asymptot

#4 26. 03. 2011 17:21

Re: Součin vzdáleností bodu hyperboly od asymptot

#5 26. 03. 2011 17:24

Re: Součin vzdáleností bodu hyperboly od asymptot

#6 26. 03. 2011 17:28

Re: Součin vzdáleností bodu hyperboly od asymptot

#7 26. 03. 2011 17:29 — Editoval Dana1 (27. 03. 2011 00:21)

Re: Součin vzdáleností bodu hyperboly od asymptot

Zápatí