Matematické Fórum

johny0222 · 25. 03. 2011 19:44

$\lim_{x\to 0,y\to 0}$\frac{x^3+x^2+y^2}{x^2+y^2}$$
skusal som to rozdelit na jednolive limity, teda $\frac{x^3}{x^2+y^2}$ ... a tak sa to riesit neda, aspon podla mojho nazoru.
taktiey vypadava z uvahy rozsirenie a taktiez polarne suradnice, pri ktorych by sa to len komplikovalo

Pavel · 25. 03. 2011 19:53

↑ johny0222:

řeš obdobně jako http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=28740

johny0222 · 27. 03. 2011 13:31

$0&\leq\frac{x^3+x^2+y^2}{x^2+y^2}\leq \frac{x^3+x^2}{x^2}=x+1$
$\lim_{x\to 0,y\to 0}0&\leq\lim_{x\to 0,y\to 0}\frac{x^3+x^2+y^2}{x^2+y^2}\leq \lim_{x\to 0,y\to 0}(x+1)$
$0&\leq\lim_{x\to 0,y\to 0}\frac{x^3+x^2+y^2}{x^2+y^2}\leq 1.$

vysledok je teda 1
je spravny moj zapis ?

Pavel · 27. 03. 2011 15:37

Ty odhady nejsou úplně v pořádku. Navíc na základě poslední nerovnosti nelze odvodit, že limita bude rovna 1. Ta nerovnost říká, že limita, pokud existuje, bude v rozmezí od 0 do 1. Což nestačí.

Šel bych na to takto:

Funkce $\frac{x^2}{x^2+y^2}$ je definovaná všude na $\mathbb R^2$ kromě bodu $[0,0]$ .

Odhadněme funkci shora:

$\frac{x^2}{x^2+y^2}\leq\frac{x^2}{x^2}=1.$

Odhadněme funkci zdola

$\frac{x^2}{x^2+y^2}\geq 0.$

Funkce $\frac{x^2}{x^2+y^2}$ je tedy na svém definičním oboru omezená. Proto platí

$\lim_{x\to 0,y\to 0}$\frac{x^3}{x^2+y^2}$=\lim_{x\to 0,y\to 0}$x\cdot\frac{x^2}{x^2+y^2}$=0.$

Původní limitu lze pak vypočítat snadno, protože

$\lim_{x\to 0,y\to 0}$\frac{x^3+x^2+y^2}{x^2+y^2}$=\lim_{x\to 0,y\to 0}$1+\frac{x^3}{x^2+y^2}$=0.$

Matematické Fórum

#1 25. 03. 2011 19:44

limita 17

#2 25. 03. 2011 19:53

Re: limita 17

#3 27. 03. 2011 13:31

Re: limita 17

#4 27. 03. 2011 15:37

Re: limita 17

Zápatí