Matematické Fórum

MladinkaBc · 28. 03. 2011 16:18

Dobrý den,
jak si mám odůvodnit, že $s(x)=\sum_{n=0}^\infty x^n$ je roven $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n$ jde mi o to jak jsem zjistila, že s(x) je ten zlomek?

Stýv · 28. 03. 2011 16:34

je to součet geometrický řady, to bys měla znát už ze střední školy

OiBobik

↑ MladinkaBc:

Dan8 suma konverguje pro $x: |x|<1$
Že taková řada konverguje, se dá dokázat nejlépe asi pomocí Odmocninového kritéria:

$0<x<1 \rightarrow \sqrt[n]{x^n}=x<1 \Rightarrow \sum_{n=0}^\infty x^n konverguje$

Tak, teď už víme, že konverguje, víme tedy také, že konverguje řada $\sum_{n=1}^\infty x^n=x \cdot \sum_{n=0}^\infty x^n$

No a teď: $\sum_{n=0}^\infty x^n-\sum_{n=1}^\infty x^n=x^0=1$
Ale také $\sum_{n=0}^\infty x^n-\sum_{n=1}^\infty x^n=\sum_{n=0}^\infty x^n-x \cdot \sum_{n=0}^\infty x^n=(1-x) \cdot \sum_{n=0}^\infty x^n$

No a teď to jen dát dohromady:
$1=(1-x) \cdot \sum_{n=0}^\infty x^n \Rightarrow \sum_{n=0}^\infty x^n= \frac{1}{1-x}$

Matematické Fórum

#1 28. 03. 2011 16:18

mocninna řada

#2 28. 03. 2011 16:34

Re: mocninna řada

#3 28. 03. 2011 19:08 — Editoval OiBobik (28. 03. 2011 20:12)

Re: mocninna řada

Zápatí