Matematické Fórum

Matej1117 · 28. 03. 2011 21:02

Zdravim .. je lahke dokazat ze sucet troch po sebe iducich cisel je delitelny tromi: x + x+1 + x+2 = 3x + 6 = 3(x+2)
Taktiez to plati pre vsetky neparne cisla, sucet N po sebe iducich cisel je delitelny cislom N (plati to iba pre neparne cisla)
Ale ked sa pozriem na nasobky dvojky 2,4,6,8,10 ... tak mi vychadza ze to neplati..
pre dva po sebe iduce cisla: x + x+1 = 2x + 1
pre stiry: x + x+1 + x+2 + x+3 = 4x + +
pre sest: 6x + 15
pre osem: 8x + 28
pre desat: 10x + 55

pre stovku: 100x + 4950

Ani v jednom pripade pre parne cislo nevyde vysledok delitelny tymto parnym cislom. Mimochodom, prisiel som na to ako urcit vysledny vyraz aj bez rozpisovania.. funguje to podla vztahu: Y*X + Y - 1 + (Y-1) ^2 /2
Y- udava pocet kolko po sebe iducich cisel nasleduje.
X- udava cislo od ktoreho zaciname pocitat (prve cislo) - Napriklad ak mame 2X + 1 tak ked si dosadime za X cislo 1, zaciname pocitat od cisla 1 teda 1+2=3 ak za X dosadime 2, prvy clen bude 2 cize 2+3= 5
Chcem sa spytat ako toto tvrdenie dokazat, resp. staci vysie uvedeny vzorecek s tou mocninou ako dokaz?? Asi nie ..

Matej1117 · 28. 03. 2011 21:17

mam takeho tusaka ako by som to mohol dokazat ale nie som si isty.. ak by som este kazde Y vynasobil cislom 2 (kedze kazde parne cislo) dostal by som po roznasobeny vyrazu toto: x= 2y^2 - y / 2y a ked dosadime akekolvek cislo za Y nesmieme za X dostat cele cislo - to je uz lahke dokazat tu je postup: http://img.obrazok.com/dokaz.jpg

Len si nie som isty, ci som postupoval spravne.. ako to uz u mna byva zvykom, urcite som niekde urobil hrubu chybu.

musixx · 29. 03. 2011 07:31 — Editoval musixx (29. 03. 2011 07:37)

Půjdu na to úplně elementárně, ať je dobře rozumět. Všechna "písmenka" níže jsou celá čísla a používám pouze základní vlastnosti dělitelnosti.

Součet n po sobě jdoucích celých čísel zapsaných ve tvaru

$x,\ x+1,\ x+2,\ \dots,\ x+(n-1)$

je

$S_{n,x}=nx+\big(1+2+\cdots+(n-1)\big)=nx+\frac{n(n-1)}2$
EDIT: Tady jsem použil dobře známý součet jedné konkrétní aritmetické řady.

Je-li $n$ liché, pak je zlomek $\frac{n-1}2$ celé číslo, a proto číslo $n$ dělí číslo $n\cdot\frac{n-1}2$ , tedy také $S_{n,x}$ , protože číslo $nx$ je zřejmě dělitelné číslem $n$ .

Je-li naopak $n$ sudé, pak musí být tvaru $n=2m$ pro vhodné celé číslo $m$ a otázka zní, zda pak číslo $2m$ dělí číslo $\frac{(2m)\cdot(2m-1)}2=m(2m-1)$ . Číslo $m$ můžeme "zkrátit" a máme, že $2m$ dělí $m(2m-1)$ , pokud $2$ dělí $2m-1$ . Ovšem $2m-1$ je liché pro jakékoli $m$ , proto součet sudého počtu po sobě jdoucích celých čísel nikdy nemůže být dělitelný jejich počtem.