Matematické Fórum

MladinkaBc

Dobrý den, jak mám vypočítat největší hodnotu, neboli supremum funkce $\frac{x}{1+n^4x^2}$ potřebuji ji kvypočítání Weierstrassova kritéria řady $\sum_{n=1}^\infty \frac{x}{1+n^4x^2}$ .

Pavel · 29. 03. 2011 19:22

↑ MladinkaBc:

Je-li $x$ záporné, pak stačí vytknout $-1$ a řešit konvergenci pro $x>0$ .

1. Nechť tedy $x>0$ . Pak z nerovnosti mezi aritmetickým a geometrickým průměrem vyplývá, že

$\frac{1+n^4x^2}2\geq\sqrt{n^4x^2}=n^2x.$

Proto

$\sum_{n=1}^\infty \frac{x}{1+n^4x^2}\leq \sum_{n=1}^\infty \frac{2x}{n^2x}=2\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\,.$

2. Je-li $x=0$ , pak je odhad triviální.

Rumburak

↑ MladinkaBc:

Supremum a infimum funkce $f(x) :=\frac{x}{1+n^4x^2}$ pro parametr $n \in \mathbb{N}$ zjistíme metodami pro vyšetřování průběhu funkce.

Zde vidíme, že

1) funkce f je definována a spojitá na množině všech reálných čísel a je lichá , všude existuje f'(x).

2) f(0) = 0 , $\lim_{x \to +\infty} \,f(x) = 0$ .

3) na (0, +oo) je f(x) > 0.

Odtud plyne, že supremum fce f na [0, +oo) bude rovno jejímu maximu na tomto intervalu, kterého funkce nabývá v některém bodě c > 0,
v němž f'(c) = 0.
Infimum funkce f na tomtéž intervalu je zřejmě 0.

Pomocí lichosti funkce f přeneseme tento výsledek na interval (-oo, 0] a pak snadno učíníme závěr.

Matematické Fórum

#1 29. 03. 2011 16:33 — Editoval MladinkaBc (29. 03. 2011 16:33)

supremum

#2 29. 03. 2011 17:02 — Editoval Pavel (29. 03. 2011 17:32) Příspěvek uživatele Pavel byl skryt uživatelem Pavel.

#3 29. 03. 2011 19:22

Re: supremum

#4 30. 03. 2011 09:56 — Editoval Rumburak (30. 03. 2011 10:25)

Re: supremum

Zápatí