Matematické Fórum

↑ radeek:

Začal bych tím, že si vyjádřím prostor "lin. kombinací" (v uvozovkách, vlastně je to VP těch souřadnic) bázových vektorů, který danou podmínku splňuje, tedy

ozn. V ... hledaný vektorový prostor
a_1,a_2,a_3 ... vektory z báze A
b_1,b_2,b_3 ... vektory z báze B




No a to je vlastně homogenní soustava lineárních rovnic, výsledkem jsou nějaké aritmetické vektory, které vlastně tvoří ty souřadnice. Nakonec z toho jen člověk musí vyvěštit nějaké ty bázové vektory; ))

↑ radeek:

Znáš takové pojmy jako prostor řešení homogenní soustavy rovnic, dimenze řešení (tedy dimenze toho prostoru řešení)?

Když jsem si to tu někde počítal, vyšlo mi, že se jeden řádek vynuluje - tedy že dvě neznámé můžu vyjádřit v závislosti na třetí (dejme tomu r a s v závislosti na t). Takže když se podívám na aritmetické vektory řešící soustavu rovnic (rozuměj: uspořádané trojice (r,s,t) takové, že r,s,t jsou řešením rovnice výše), můžu říct, že jeden je násobek druhého.

Abych to tu neplácal tak obecně (oprav mě, prosím, jestli ti vyšel jiný výsledek):

řešením soustavy rovnic je libovlolný vektor z množiny
Tatáž množina se dá zapsat jako - a to je ten prostor řešení.

No a co nám to v tomto případě říká o vektorech - polynomech, které splňují onu podmínku ze zadání?

↑ radeek:

Teď už jde jen o to, že (-2,-1,1) je báze toho "podprostoru souřadnic" a nás zajímá ten podprostor polynomů - takže stačí jenom těmi souřadnicemi roznásobit tu bázi A, resp. bázi B (tj. udělat něco, co Bican nazývá "smíšený součin" - je to vlastně opačná operace k zjišťování souřadnic vektoru vzhledem k bázi, dalo by se říct) - tím dostanu nějaký vektor z toho hledaného vektorového prostoru polynomů (označme jej ).

No a protože souřadnice libovolného vektoru, který odpovídá podmínkám v zadání, jsou nějakým x-násobkem vektoru (-2,-1,1), pak i libovolný vektor z hledaného vp prostoru je x-násobkem vektoru v (to si lze snadno rozmyslet). takže hledaný VP je

Píšu to teď trochu narychlo, takže kdybys něčemu z toho nerozuměl, napiš čemu a já to později zkusím nějak přeformulovat.

↑ radeek:

Ano, to je závěr té úlohy ; ))

Aby to bylo přehlednější, tak jen sepíšu, co jsme vlastně udělali:

Zadání bylo hledat vektorový prostor polynomů nejvýše druhého stupně takový, že pro každý vektor z tohoto prostoru platí, že jeho souřadnice vůči bázi A jsou stejné jako vůči bázi B:

1) to nás navedlo na rovnici, jejíž výsledkem byly ne samotné vektory, ale jejich souřadnice vůči bázi A (resp. vůči bázi B). Řešením této rovnice byly všechny násobky souřadnic (-2,-1,1)

2) víme tedy, že má-li vektor z prost. polynomů nejvýše 2. stupně požadovanou vlastnost, jeho souřadnice vůči bázi A (resp. vůči bázi B) jsou x*(-2,-1,1). Z toho už jednoduše plyne, že je rovněž x-násobkem vektoru .
Zároveň každý násobek tohoto vektoru má stejné souřadnice vůči bázím A, B, tedy hledaný vektorový prostor je