Matematické Fórum

rimer · 30. 03. 2011 20:19

Zdravim, neviem ako na tento priklad prosim o napovedu.

Mame 4 gulicky ktore su ocislovane a 4 ocislovane krabicky, do kazdej krabicky mozeme dat prave jednu gulicku.

Kolkmi sposobmi mozeme ulozit gulicky tak aby:
a) aspon 2 gulicky boli v krabicke s rovnakym cislom ake ma gulicka
b) cislo ziadnej gulicky nesuhlasilo s cislom na krabicke

Dakujem.

Jookyn · 30. 03. 2011 22:19

a) Asi bude nejjednodušší si to spočítat pro 2, 3 a 4, neni to těžký, stačí se nad tim trošku zamyslet.
Aby byli všechny ve správný je jediná možnost, aby byli 3 ve správný jde jak? A jde to vůbec? Jak je to aby byli dvě ve správný? Hint: Kolika způsoby jde vybrat ty dvě kuličky, který budou správně a kolika způsoby je pak možný umístit ty ostatní?

b) Tohle je příklad na permutaci bez pevného bodu (problém šatnářky), na což je odvozený vzoreček, ale to je asi mimo SŠ. Jak to spočítat jednoduše SŠ matematikou mě bohužel teď nenapadá :( Mimochodem výsledek je 9.

rimer · 30. 03. 2011 22:32

a) mame teda krabicky 1 2 3 4 (krabicky budu k, gulicky g) do k1 dam g1 do k2 dam g2 a do k3 a k4 mozem dat lubovolne g3 a g4 teda 2! je to spravne zatial? to je vysledok iba ak g1 a g2 suhlasia s cislom krabicky ale moze byt este pripad pre (g2 g3) (g3 g4) (g4 g1), mozem to teda vynasobit tromi?

Jookyn · 30. 03. 2011 22:49

Zádrhel je ve slově právě. Protože pokud bude (k1,g1), (k2,g2) tak už pak neni možný udělat (k3,g3), (k4,g4), protože to pak jsou na svém místě 4. Takže to musí být (k1,g1), (k2,g2), (k3,g4), (k4,g3). Takže to znamená, že stačí zjistit, kolik jde vybrat dvojic ze čtyř prvků... Na nějaký jsi totiž zapomněl, je jich víc než 4...

rimer · 30. 03. 2011 23:04 — Editoval rimer (30. 03. 2011 23:04)

ale v zadani a) je ze mozu byt aspon 2 vo svojich krabickach tj 2 musia byt ale mozu byt aj tri aj styri, vlastne ked uz su 3 potom uz stvrta musi byt na svojom mieste

Jookyn · 30. 03. 2011 23:12

V zadání je alespoň 2. To ale znamená: právě 2 + právě 3 + právě 4. Neni možný započítávat stejný možnosti (tzn např tak, že budou všechny ve svých krabičkách) ve více částech, protože pak tam třeba tahle možnost bude započítaná několikrát, ikdyž jde jen o jednu možnost.

Počítám to tak schválně, protože sám nevim, kolik jich je pro alespoň 2, ale pro právě 2, 3, 4 to neni tak složitý spočítat a pak tyhle možnosti sečíst. Ale musí právě být zajištěno, aby se tam žádná možnost nevyskytla vícekrát.

rimer · 30. 03. 2011 23:17 — Editoval rimer (30. 03. 2011 23:17)

takze by to malo byt $\binom 4 2 +\binom 4 3 +4$ ?

OiBobik · 30. 03. 2011 23:27

↑ rimer:

b) vzhledem k tomu, že jde pouze o 4 kuličky, zapomeňme na šatnářku a řešme příklad intuitivně:
Kuličky když budu dávat do krabiček po jedné. Vezmu kuličku 1 a umístím do jedné ze tří krabiček (3 způsoby). zbydou mi kuličky 2,3,4 a tři krabičky, z nichž jedna má číslo 1. Celkově je lze rozmístit 3! způsoby, ovšem lze nahlédnout, že právě 3 tato rozmístění nebudou splňovat podmínku zadání (ty případy jsou: dvojice kuliček, jejichž krabičky jsou mezi oněmi třemi nezaplněnými, jsou obě na svých místech; jedna z nich je na svém místě a druhá je na posledním možném místě takovém, aby nebylo její vlastní; druhá z nich je na svém místě a první je na posledním možném místě tak, aby nebylo její vlastní). tedy výsledek je 3*(3!-3)=3*(6-3)=3*3=9

Ten popis vypadá výhružně, tak tady ukázka oněch tří možných chybných rozdělení pro případ, kdy kulička 1 sedí v krabičce 2:

Kul1-Kr2

chyba č.1:

Kul3-Kr3
Kul4-Kr4
Kul2-Kr1

chyba č.2:

Kul3-Kr3
Kul4-Kr1
Kul2-Kr4

chyba č.3:
Kul3-Kr1
Kul4-Kr4
Kul2-Kr3

OiBobik

↑ rimer:

Co se toho a) týče, s tím bych se taky příliš nemazal - zafixovanou dvojici lze vybrat $\binom 4 2$ způsoby, nyní si stačí jen uvědomit, že zbylé dvě umístím vždy tak, že je buď dám do jejich vlastních krabiček, nebo jednu dám do krabičky druhé a naopak. Pokud je dám do jejich vlastních krabiček, tak tento případ je "společný" všem volbám počáteční dvojice - je tedy jeden. Co se týče toho druhého způsobu výběru, to je jedna volba pro každou kombinaci oněch dvou zafixovaných prvků, každá určuje jedno umístění do krabiček. Tedy celkově těch způsobů je zkrátka $\binom 4 2 +1$ . (tj 7)

zdenek1 · 31. 03. 2011 08:01

b) se dá udělat i takto:
žádná není správně = všechny možnosti - aspoň jedna je správně
všechny možnosti $4!$
aspoň jedna je správně = právě jedna správně + právě dvě + právě čtytři
právě dvě = ${4\choose2}$ už máme spočítaně
právě čtytři = $1$ už také máme

právě jedna: vyberu tu správnou (4 možnosti) a pak pro další kuličku mám dvě možnosti, zbylé už jsou jednoznačně určené, tj $4\cdot2$

$4!-{4\choose2}-1-4\cdot2$

OiBobik · 31. 03. 2011 14:59

↑ zdenek1:

Aby to nemátlo: nikoli "právě tři", ale "právě čtyři" (případ "právě tři" má 0 možností)

zdenek1 · 31. 03. 2011 15:05

↑ OiBobik:
JO, to je pravda.

Matematické Fórum

#1 30. 03. 2011 20:19

kombinatorika

#2 30. 03. 2011 21:31 Příspěvek uživatele SoniCorr byl skryt uživatelem SoniCorr.

#3 30. 03. 2011 22:19

Re: kombinatorika

#4 30. 03. 2011 22:32

Re: kombinatorika

#5 30. 03. 2011 22:49

Re: kombinatorika

#6 30. 03. 2011 23:04 — Editoval rimer (30. 03. 2011 23:04)

Re: kombinatorika

#7 30. 03. 2011 23:12

Re: kombinatorika

#8 30. 03. 2011 23:17 — Editoval rimer (30. 03. 2011 23:17)

Re: kombinatorika

#9 30. 03. 2011 23:27

Re: kombinatorika

#10 30. 03. 2011 23:38 — Editoval OiBobik (30. 03. 2011 23:40)

Re: kombinatorika

#11 31. 03. 2011 08:01

Re: kombinatorika

#12 31. 03. 2011 14:59

Re: kombinatorika

#13 31. 03. 2011 15:05

Re: kombinatorika

Zápatí