Matematické Fórum

OiBobik

Zdravím,

tak jsem si po delší době vzpomněl na limitu, u které by mě velmi zajímalo, jak na ni:

Dána posloupnost:

$a_1=1$
$a_{n+1}=\frac{1}{1+a_n}$

Určete limitu posloupnosti, existuje-li.

(Přičemž z přímého ověření silně věřím, že konverguje : )) )

Co jsem se zatím setkal s rekurentními posloupnostmi, tak řešení vždy spočívalo v tom, že se dokázalo, že posloupnost je konvergentní (to zpravidla znamenalo dokázat omezenost a monotonii), pak se využilo věty o "posunu indexu" a příslušná limita se spočítala jako vyhovující kořen kvadratické (příp. lineární, ale tam by se nebylo moc o čem bavit) rovnice.

Tahle posloupnost ale monotónní není, tak nevím, jak konvergenci dokazovat. Jediný další nápad bylo dokázat ji přes Bolzano-Chauchyho podmínku (teď doufám, že si nepletu název, ale zkrátka mám na mysli ukázat, že je posloupnost cauchyovská). Jenže si moc nedovedu představit, jak na to.

Pavel · 30. 03. 2011 15:53

↑ OiBobik:

Dost mi to připomíná řetězový zlomek zlatého řezu, viz http://cs.wikipedia.org/wiki/Zlat%C3%BD_%C5%99ez

Rumburak

1. Snadno nahlédneme (třeba pomocí indukce), že posloupnost má pouze kladné členy.

2. Z předchozího kroku a z rekurentního vztahu vyplývá, že tato poslopnost je omezená i shora (číslem 1).

3. Označíme $x :=\liminf_{n \to \infty} a_n , \,\,\,\,\,y :=\limsup_{n \to \infty} a_n$ a sestavíme (a vyřešíme)
vhodnou soustavu rovnic pro x, y.

4. Ještě je potřeba uvážit, že čísla x, y jsou nezáporná.

Vyjde (pokud jsem se nesekl)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

OiBobik · 30. 03. 2011 18:08

↑ Rumburak:

A na základě čeho (a jakou) bych měl sestavit tu soustavu rovnic? Tak, jak se to typicky dělá s rovnicí pro limitu u posloupností, u kterých jsem již prokázal konvergenci, to dělat přece nemůžu.
(tj. nemohu přece říct: $x=\frac{1}{1+x}, y=\frac{1}{1+y}$ )

Rumburak

↑ OiBobik:
Musí se postupovat poněkud jemněji. Označení, které jsem zavedl v ↑ Rumburak:, nechť platí. Máme postupně
$a_{n+1}=\frac{1}{1+a_n}$ ,
(1) $\liminf_{n \to \infty}a_{n+1}=\liminf_{n \to \infty}\frac{1}{1+a_n}$ .

Levá strana poslední rovnosti je x (posun v indexu nehraje roli), pravou stranu upravíme využívajíce faktu,
že čitatel i jmenovatal zlomku jsou kladná čísla:

$\liminf_{n \to \infty}\frac{1}{1+a_n} = \frac {1}{\limsup_{n \to \infty}(1+a_n)}=\frac {1}{1 +\limsup_{n \to \infty} a_n}$ ,

celkem jsme obdrželi $x = \frac {1}{1+y}$ , obdobným způsobem lze odvodit $y = \frac {1}{1+x}$ .

OiBobik · 31. 03. 2011 13:18

↑ Rumburak:

Aha. : )
Instinktivně se to zdá jako správná myšlenka, zkusím si tu klíčovou rovnici ještě nějak prodokazovat, ale věřím, že to celkem snadno půjde (viděl bych to na úvahy o vybrané podposloupnosti s největší možnou/nejmenší možnou limitou a využití věty, že lim sup, lim inf posloupnosti náleží do množiny hromadných hodnot posloupnosti).

Děkuji.

Pavel · 31. 03. 2011 13:49

↑ OiBobik:

Bylo by možné také ukázat, že členy se sudými indexy tvoří rostoucí podposloupnost a členy s lichými indexy tvoří klesající podposloupnost. Obě jsou omezeny shora resp. zdola zlatým řezem.

OiBobik

↑ Pavel:

Nenaznačil bys, prosím, tak pro zajímavost, jak by ten důkaz vypadal?

Já si to teď zkusil indukcí (přes rekurentní vyjádření liché/sudé podposloupnosti), pak jěště nějakými machinacemi s polynomem $x^2+x-1$ , ale ani jednou se mi to nepodařilo nijak dokázat.

Pozn: omezeny jsou číslem (zlatý řez-1)

Pavel · 31. 03. 2011 16:10 — Editoval Pavel (31. 03. 2011 16:11)

↑ OiBobik:

Důkaz se opírá o to, že každý člen $a_n$ lze vyjádřit jako podíl dvou sousedních členů Fibonacciho posloupnosti, tzn.

$a_n=\frac{F_{n}}{F_{n+1}},\quad\text{kde}\qquad F_{n+2}=F_{n+1}+F_n,\ n\geq 1,\ F(1)=F(2)=1.$

To lze dokázat indukcí. A odtud je pak možné ukázat monotonnost členů opatřených indexy stejné parity. Později se k tomu vrátím.

Matematické Fórum

#1 30. 03. 2011 15:19 — Editoval OiBobik (30. 03. 2011 15:20)

Limita rekurentní posloupnosti

#2 30. 03. 2011 15:53

Re: Limita rekurentní posloupnosti

#3 30. 03. 2011 16:02 — Editoval Rumburak (30. 03. 2011 16:11)

Re: Limita rekurentní posloupnosti

#4 30. 03. 2011 18:08

Re: Limita rekurentní posloupnosti

#5 31. 03. 2011 10:21 — Editoval Rumburak (31. 03. 2011 10:53)

Re: Limita rekurentní posloupnosti

#6 31. 03. 2011 13:18

Re: Limita rekurentní posloupnosti

#7 31. 03. 2011 13:49

Re: Limita rekurentní posloupnosti

#8 31. 03. 2011 14:36 — Editoval OiBobik (31. 03. 2011 14:38)

Re: Limita rekurentní posloupnosti

#9 31. 03. 2011 16:10 — Editoval Pavel (31. 03. 2011 16:11)

Re: Limita rekurentní posloupnosti

Zápatí