Matematické Fórum

Coko · 31. 03. 2011 15:21

Dobrý den, nevím si rady s příkladem jehož znění je takové -> Napiš rovnici hyperboly, která prochází počátkem soustavy souřadnic a asymptoty jsou přímky a1: 3x-y+9=0, a2:3x+y+3=0. Vypočetla jsem si S(-2,-3), ale právě mě mate to, že hyperbola pochází počátkem soustavy. Nevím si tedy vůbec rady, předem děkuji za pomoc.

zdenek1 · 31. 03. 2011 17:02

↑ Coko:
$S[-2;3]$
asymptoty jsou $y-n=\pm\frac ba(x-m)$ , a protože $y=3x+9$ , je $\frac ba=3\ \Rightarrow\ b=3a$
Hyperbola má rovnici
$\frac{(x+2)^2}{a^2}-\frac{(y-3)^2}{9a^2}=1$
Protože hyperbola prochází počátkem, dosadíme $x=0$ , $y=0$
$\frac4{a^2}-\frac9{9a^2}=1$
$a^2=3$

Rovnice: $\mathcal H:\frac{(x+2)^2}{3}-\frac{(y-3)^2}{27}=1$

Rumburak

Hyperbola nemůže procházet průsečíkem svých asymptot, ale počátkem soustavy, tedy bodem [0.0] (pokud ten neleží na některé asymptotě),
by procházet mohla. Známe-li už střed [m,n] hyperboly, můžeme její rovnici napsat ve tvaru

(1) $\left(\frac{x-m}{a}\right)^2-\left(\frac{y-n}{b}\right)^2= \varepsilon$ ,

kde dle Tvého výpočtu m=-2, n=-3, dále a, b jsou neznámé délky poloos a $\varepsilon = \pm 1$ , kde znaménko určuje, ve kterých dvou
protilehlých kvadrantech vyťatých asymptotami hyperbola leží. Odtud vyjdeme a z dalších podmínek úlohy poskládáme vhodné rovnice.
Nejtěžší je podmínka s asymptotami. Platí následující věta:

Nechť f(x,y) = 0 je rovnice hyperboly h, g(x,y) = 0 je rovnice přímky p. Potom přímka p je asymptotou hyperboly h právě tehdy,
když soustava rovnic f(x,y) = 0 , g(x,y) = 0 nemá řešení ani rálná, ani imaginární.

Tuto větu můžeme v praxi použít i tak, že pravou stranu rovnice (1) nahradíme nulou a získáme

(2) $\left(\frac{x-m}{a}\right)^2-\left(\frac{y-n}{b}\right)^2= 0$ ,

což je společná rovnice obou asymptot. Z ní vyplývá

(3) $\frac{x-m}{a}= \pm \frac{y-n}{b}$ ,

se znaménkem "+" resp. "-" tak obdržíme rovnici jedné či druhé asymptoty, což porovnáme se zadanými rovnicemi asymptot
a určíme tak čsla a, b. Že každá z obou přímek daných rovnicemi (3) splňuje podmínku pro asymptotu hyperboly (1),
je prostřednictvím rovnice (2) zřejmé.

Ale není to jediná možnost, jak uvedenou větu technicky využít.

PS. Ve srovnání se Zdeňkem jsem to pojal snad až příliš teoreticky, ale doufám, že to neuškodí.

Matematické Fórum

#1 31. 03. 2011 15:21

Hyperbola

#2 31. 03. 2011 17:02

Re: Hyperbola

#3 31. 03. 2011 17:23 — Editoval Rumburak (31. 03. 2011 17:26)

Re: Hyperbola

Zápatí