Matematické Fórum

mikl3 · 03. 04. 2011 18:56 — Editoval mikl3 (03. 04. 2011 18:58)

dobrý den, po dlouhé době jsem se rozhodl udělat úkoly z matematiky a jsem asi přepočítaný, prosím o kontrolu
zadání: elipse $y^2+9y^2=9$ je vepsán rovnostranný trojúhelník souměrný podle její hlavní osy, určete body dotyku

má práce:
rovnici si upravím $\frac{x^2}{9}+y^2=1$ střed je $S[0;0]$ velikost hlavní poloosy je $a=3$
nyní si nakreslím trojúhelník (jsou dvě možnosti) ale každý ten trojúhelník má vrchol na hlavním vrcholu elipsy, tak třeba $A$
strana trojúhelníku svírá s hlaví poloosou úhel $\phi=30°$ , protáhneme si tuto jeho stranu jako polopřímku až aby se protnula s osou $y$ souřadnic, nyní máme trojúhelník $ASY$ ( $S$ je průsečík os elipsy) je to trojúhelník o úhlech $30, 90, 60$ strany má $a=3$ hlavní poloosa, $s$ nevíme, $y$ leží na ose $y$ neznámé délky (ale je to $z+b$ ale to mi nepomůže)
takže jsem si vypočítal strany trojúhelníku pomocí goniometrie, $\tg30°$ atd...
strany mi vyšly $3$ (to je poloosa), $\sqrt{12}$ (přepona), $\sqrt{3}$ strana ležící na ose $y$
vím, že vrchol $Y$ (na ose je) má souřadnice $Y[0;\sqrt{3}]$
chtěl jsem si nyní udělat přímku $p$ , která bude obsahovat přeponu trojúhelníku a z obecné rovnice této přímky vypočítat průnikem s rovnicí elipsy bod, který je opravdu vrcholem trojúhelníku (je to průnik přepony a elipsy), jenže už jsem z toho tak zblblý, že neudělám vektor, prosím o pomoc
chci vektor (obecnou rovnici) přepony trojúhelníku, vím, že na této přímce leží body $A[-3;0]$ a $Y[0;\sqrt{3}]$ udělám si vektor
$\vec{u}=A-Y=(-3,-\sqrt{3})$ a to je směrový vektor přímky, napíšu si její obecnou rovnici $-3x-\sqrt{3}y+c=0$ , abych zjistil koeficient $c$ , dosadím si libovolný bod ležící na přímce, třeba $A[-3;0]$ dosadím $9+c=0$ $c=-9$ , ale když tam dosadím bod $Y[0;\sqrt{3}]$ neplatí rovnost nule a právě tady se zasekávám
(prosím ať nepřispívají ti, kdo napíší něco ve smyslu jde to jednodušeji, ano vím to)
dík

Aquabellla · 03. 04. 2011 19:08

↑ mikl3:
Do obecné rovnice se dosazuje normálový vektor, ne směrový

mikl3 · 03. 04. 2011 19:10

↑ Aquabellla: no tak to asi bude tím, díky :D přepočtu a ozvu se

mikl3 · 03. 04. 2011 19:33 — Editoval mikl3 (03. 04. 2011 19:37)

↑ Aquabellla: btw nemohla bys mi to nějak vysvětlit pokud to chápeš? dík
a k příkladu: bod mi vyšel $T[-\frac32;\frac{\sqrt{3}}{2}]$ tedy mi vyšlo, že vrchol trojúhelníka rovnostranného vepsaného do elipsy souměrného podle hlavní osy je v prostřed hlavní poloosy, ptám se, jestli to je dobře (mělo by), samozřejmě pokud bych byl trochu zručnější, tak by se to mělo dokázat

Aquabellla · 03. 04. 2011 19:54

↑ mikl3:

Ano, mně vyšlo úplně to samé... bod T je průsečíkem elipsy s přímkou AY. Taktéž jsi určitě dostal bod T', který je s bodem T souměrný podle osy x (má jen ypsilonovou souřadnici zápornou). Takže tvůj hledaný vepsaný trojúhelník je ATT'. Existuje ještě druhé řešení, které je analogické, ale výchozím vrcholem je hlavní vrchol elipsy B

mikl3 · 03. 04. 2011 20:09

↑ Aquabellla: jojo díky, zas tak blbej nejsem :D i když dosazuju směrovej vektor no :d

Aquabellla · 03. 04. 2011 20:12

↑ mikl3:

Tak jsem to nemyslela, jen jsem nevěděla, jak moc vysvětlit to potřebuješ :-D

mikl3 · 03. 04. 2011 20:46

↑ Aquabellla: bylo to tak, že opravdu z vektoru obecnou rovnici jsem nedělal asi půl roku, ale přišlo mi jasné dávat směrový vektor do obecné, ale teď už se mi to natvrdo uložilo do paměti, takže ok

Pavel Brožek

↑ mikl3:

Dobré je chápat, proč tam má být normálový, nejen si to pamatovat.

Předpokládejme, že bod Y leží na přímce a n je normálový vektor k přímce. Pak bod X leží na přímce právě tehdy, když vektory X-Y a n jsou kolmé, tj jejich skalární součin je nulový:

$(X-Y)\cdot n=0$

Když dosadíš nějaký konkrétní bod Y a konkrétní normálový vektor n, dostaneš jeden možný tvar obecné rovnice přímky.

Část $X\cdot n$ odpovídá $ax+by$ a $-Y\cdot n$ je pak absolutní člen $c$ v obecné rovnici $ax+by+c=0$ .