Matematické Fórum

johny0222 · 04. 04. 2011 08:46

chcel by som sa spytat na riesenie takychto prikladov, teda v pripade, ze je zadana zaciatocna podmienka
ako postupovat ?
Taketo priklady sme zatial na hodinach neriesili. Chem sa to skorej naucit, aby som si potom mohol doberat priklady, ktorym rozumiem menej
myslim si, ze sa bude postupovat takto:
vyriesi sa diferencialna ronica a potom sa ta zaciatocna podmienka dosadi do konecneho vyrazu, teda do vseobecneho riesenia
najlepsie by bolo, ukazat to na nejakom riesenom priklade
dakujem

Rumburak · 04. 04. 2011 09:36

Najít obecné řešení a pak ho konkretisovat uplatněním počátečních (či jiných) podmínek, je jedna možnost,
ale v některých případech lze postupovat i jinak, příklad je v tomto vlákně.
Na typu diferenciální rovnice závisí, který způsob bude výhodnější nebo vůbec možný.
Tím toto téma zdaleka není vyčerpáno, neboť svět diferenciálních rovnic je velmi bohatý a mnohé jejich typy neumíme řešit vůbec.

johny0222

takze teda konkretny priklad:
$y'=e^{x+y}$ $y(0)=0$
ako teda postupovat ?

johny0222

vysledok diferencialnej rovince je teda $-e^{-y}=e^x+c$
teda $y=-ln(-c-e^x)$
zaciatocna podmienka $y(0)=0$ vychadza zo $y(x_0)=y_0$
a teda:
$0=-ln(-c-1)$
$0=lnc$
teda c=0
teda vysledok je $y=-ln(-e^x)$
vysledok vsak ma byt $y=-ln(2-e^x)$
kde robím chybu ?

Rumburak · 04. 04. 2011 10:31

$y'=e^{x+y} = e^x e^y$ ,
$\frac{y'}{e^y} = e^x$ ,
$\frac{y'\mathrm{d}x}{e^y} = e^x\mathrm{d}x$ ,
$\frac{\mathrm{d}y}{e^y} = e^x\mathrm{d}x$ ,
$e^{-y}\mathrm{d}y = e^x\mathrm{d}x$ .

Zde se můžeme rozhodnout, jak poslední rovnici integrovat:

A. neurčitým integrálem

$\int e^{-y}\mathrm{d}y = \int e^x\mathrm{d}x$ ,

tím získáme obecné řešení v implicitním tvaru

(1) $-e^{-y} = e^x + C$ , (C je integrační konstanta),

odkud vypočítáme y = y(x, C) atd.

Počáteční podmínku $y(0)=0$ můžeme dosadit už do (1), tím ihned dostaneme C = -2 .

B. určitým integrálem při využití poč. podmínky ( obdobně jako ve vlákně, na který byl odkaz):

$\int_{y(0)}^{y(\xi)} e^{-y}\mathrm{d}y = \int_0^{\xi} e^x\mathrm{d}x$ .

Výpočet integrálů dává $\left[-e^{-y}\right]_{y(0)}^{y(\xi)} =\left[e^x\right]_0^{\xi}$ , odkud vypočteme $y = y(\xi) = ...$ .

Rumburak

↑ johny0222:
Chyba je zde:

Z rovnice $0=-ln(-c-1)$ , která je ještě správně, plyne postupně $0=ln(-c-1)$ , $1 = -c - 1$ , $c = -2$ .

( Doporučuji zopakovat si logaritmiclou funkci :-). )

Matematické Fórum

#1 04. 04. 2011 08:46

diferencialne rovncice - zaciatocne podmienky

#2 04. 04. 2011 09:36

Re: diferencialne rovncice - zaciatocne podmienky

#3 04. 04. 2011 09:54 — Editoval johny0222 (04. 04. 2011 09:54)

Re: diferencialne rovncice - zaciatocne podmienky

#4 04. 04. 2011 10:11 — Editoval johny0222 (04. 04. 2011 10:14)

Re: diferencialne rovncice - zaciatocne podmienky

#5 04. 04. 2011 10:31

Re: diferencialne rovncice - zaciatocne podmienky

#6 04. 04. 2011 10:37 — Editoval Rumburak (04. 04. 2011 10:40)

Re: diferencialne rovncice - zaciatocne podmienky

Zápatí