Matematické Fórum

Baktor · 29. 03. 2011 19:58

Dobrý den,

potřeboval bych přesný postup k výsledku, ke kterému se zde dostal Wolfram Aplpha:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in … rom+3+to+4

Byl bych moc vděčný za postup, já jsem počítal maximálně jednoduché integrály a nevím jak si poradit s těmito složitějšími, ještě k tomu určitými integrály.

Děkuji mockrát za každou radu.

claudia

$\int \frac{1}{(2 x-1) \sqrt{x^2-x-2}} \mathrm{d}x$

Integrujeme na otevřeném intervalu $$2, \infty$$ , na kterém je funkce definována a spojitá.

Eulerova substituce

$\sqrt{x^2-x-2}&=x - t\\ x^2-x-2&=x^2 - 2tx +t^2\\ -x-2&= - 2tx +t^2\\ 2tx-x&= t^2+2\\ x&= \frac{t^2+2}{2t-1}$

$\mathrm{d}x = \frac{2 $t^2 -t -2$}{$2 t - 1$^2} \mathrm{d}t$

Substituce:

$\int \frac{1}{(2 \frac{t^2+2}{2t-1}-1) $\frac{t^2+2}{2t-1}-t$} \frac{2 $t^2 -t -2$}{$2 t - 1$^2} \mathrm{d}t$

A dále je to integrál racionální funkce.

Baktor · 30. 03. 2011 12:06

Teď nevím jistě jestli jste tam brala v úvahu i to, že je to integrál od 3 do 4? ... pokud ano tak bych prosil o vysvětlení té rovnice, nevím proč se vytáhne zrovna jen ta odmocnina a je rovna x-t ?

jelena · 30. 03. 2011 17:27

↑ claudia:

Zdravím,

nebyla by zde vhodnější jiná Euler. substituce, jelikož $x^2-x-2$ má reálné kořeny - 3. substituce v odkazu. Děkuji.

Baktor napsal(a):
Teď nevím jistě jestli jste tam brala v úvahu i to, že je to integrál od 3 do 4?

V úvahu - myslí se, zda na tomto intervalu (od 3 do 4) je zadaná funkce definována? Mně vyšlo, že ano, je to tak? Nebo jak to je myšleno? Děkuji.

claudia

Ani ta navržená substituce nevychází špatně, pokud se nepletu:

$&\int \frac{1}{$2 \frac{t^2+2}{2t-1}-1$ $\frac{t^2+2}{2t-1}-t$} \frac{2 $t^2 -t -2$}{$2 t - 1$^2} \mathrm{d}t =\\&=\int \frac{2 $t^2 -t -2$}{(2$t^2+2$-$2 t - 1$) $\(t^2+2$-t$2 t - 1$\)} \mathrm{d}t =\\&=\int \frac{2 $t^2 -t -2$}{$2t^2-2 t + 5$$-1$ $t^2 -t-2$} \mathrm{d}t =\\&=-2\int \frac{1}{2t^2-2 t + 5} \mathrm{d}t$

EDIT: Tak jsem to znovu spočítala a vychází shodně s Wolframem, takže pravděpodobně potud správně. Naznačím další mezivýsledky:

$-\frac{4}{9}\int \frac{\mathrm{d}t}{$\frac{2}{3}t-\frac{1}{3}$^2+1}=-\frac{2}{3}\int\frac{\mathrm{d}u}{u^2+1}\Bigg|_{u=\frac{2}{3}t-\frac{1}{3}}=-\frac{2}{3}\arctan u + C\Bigg|_{u=\frac{2}{3}t-\frac{1}{3}}$

Baktor napsal(a):
pokud ano tak bych prosil o vysvětlení té rovnice, nevím proč se vytáhne zrovna jen ta odmocnina a je rovna x-t ?

To je standardní algoritmus Eulerovy substituce (viz Google) - zjednodušeně řečeno je to postup, jak lze některé integrály s odmocninami převést na integrály racionálních funkcí, u nichž je postup řešení znám (rozkladem na parciální zlomky).

jelena · 30. 03. 2011 23:26

↑ claudia:

Děkuji, zkoušela jsem úpravu jen narychlo a tá 2. navrhovaná mi přišla jen pohodlnější. Také jsem se chtěla optat kolegy, co myslí dotazem na interval 3 až 4.

Měj se hezky.

claudia

↑ jelena:

Máš úplnou pravdu. Abych kolegu nepřipravila o snazší řešení, spočítala jsem to znovu.

$A=\int \frac{1}{(2 x-1) \sqrt{x^2-x-2}} \mathrm{d}x=\int \frac{1}{(2 x-1) \sqrt{$x-2$$x+1$}} \mathrm{d}x$

Integrujeme pro x>2 jako výše.

Eulerova subsituce:

$\sqrt{$x-2$$x+1$}&=t$x-2$\\ $x-2$$x+1$&=t^2$x-2$^2\\ $x+1$&=t^2$x-2$\\ x+1&=t^2x-2t^2\\ 2t^2+1&=t^2x-x\\ \frac{2t^2+1}{t^2-1}&=x$

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{4t$t^2-1$-$2t^2+1$2t}{$t^2-1$^2}=\frac{4t^3-4t-4t^3-2t}{$t^2-1$^2}=\frac{-6t}{$t^2-1$^2}$

$&\int \frac{-6t}{(2 \frac{2t^2+1}{t^2-1}-1) $t\(\frac{2t^2+1}{t^2-1}-2$\)$t^2-1$^2} \mathrm{d}t =\\&=\int \frac{-6t}{(2 $2t^2+1$-$t^2-1$) $t\(\(2t^2+1$-2$t^2-1$\)\)} \mathrm{d}t =\\&=\int \frac{-6t}{3$t^2+1$$t\(3$\)} \mathrm{d}t=-\frac69\int \frac{\mathrm{d}t}{t^2+1}=-\frac23 \arctan t+C\\ A&=-\frac23 \arctan $\frac{\sqrt{\(x-2$$x+1$}}{x-2}\)+C =\\&\stackrel{x>2}{=}-\frac23 \arctan \sqrt{\frac{x+1}{x-2}} +C$

Po dosazení funguje :-)