Matematické Fórum

PokecCZ · 03. 04. 2011 11:54

Ahoj lidi,

jsem asi natvrdlý a potřebuji popostrčit :). Mám sféru a paraboloid v prostoru:

... a mám vypočítat objem. vše je potřeba převést do sférických souřadnic. Zdá se mi, že nákres mám správně nicméně se nemůžu dopátrat k intervalu pro $\psi\in(0, ??)$ pro meze a posléze pak také k intervalu/meze (předpokládám od 0) pro vzdálenost $\varrho\in(0, ??)$ .

Mám dopočíst průsečík a ten pak převést na úhel?

dík moc

PokecCZ

Ještě mě napadlo, že by objem šel vypočítat jako objem půl-kružnice - objem rotační tělesa nad osou x, resp. y (hraniční křivky jsou rovnice paraboloidu a sféry).

Je to správný postup?

A ještě jedna podotázka :) ...

Jakým způsobem by se počítal příklad kde by jsme měli sféru (např. x^2+y^2+z^2=16) "proťatou" rovinou např. z=3 a počítali by jsme jenom objem "čepičky" ohraničené sférou a rovinou?

dík

PokecCZ · 03. 04. 2011 20:31

Smutně koukám ... nikdo neví? :(

Rumburak

↑ PokecCZ:
Myšlenka rotovat křivku okolo osy "z" není špatná, tím se to převede na integraci funkce jedné proměnné.
Záleží ale i na tom, jaké metody jsou poždovány učitelem :-).

Ta "čepička" kterou rovina odřízne od koule, se jmenuje kulová úseč, pokud máme na mysli těleso,
případně vrchlík, pokud máme na mysli část sféry. V úloze by mělo být zadáno, co přesně se má počítat,
zda objem úseče nebo plošný obsah vrchlíku a pod.

U první úlohy není dán poloměr koule. Nebo se má úloha řešit obecně ?
EDIT: Jo aha, $R =\sqrt{3}\,a$ - nějak jsem to přehlédl.

Paraboloid bude dán nerovností $z > (2a)^{-1}(x^2 + y^2)$ , koule $x^2 + y^2 + z^2 < R^2$ .

Úloha spočítat objem úseče má obecně 3 kroky:

1) Rozhodnout se pro metodu (trojný integrál vs. rotace okolo osy "z" a jednorozměrný integrál).

2) Sestavit (= zapsat) odpovídající (na to se často zapomíná).

3) Integrál spočítat.

V kroku 3 - pokud bychom se rozhodli pro trojný integrál - bych zkusil použít substitici do cylindrických souřadnic.

EDIT ... a nebo použít přímo Fubiniovu větu - přes kruh, který je půdorysem tětesa, integrovat (dvojným integrálem)
rozdíl kterýchsi funkcí . Zde pomohou polární souřednice , jimiž vyjádříme ten kruh.

PokecCZ · 04. 04. 2011 17:33

↑ Rumburak:
dík za odpověď ... nejde mi do hlavy jedno ... při převodu do sférických souřadnic můžu počítat příklady typu viz první náčrt ...

Jak mám ale vypočítat tento příklad, když nelze dosadit hodnoty s "??"?

dík

Rumburak

↑ PokecCZ:
Právě proto jsem radil (↑ Rumburak:) použít spíše souřadnice cylindrické, kde souřadnice x, y jsou vyjádřeny
polárními souřadnicemi, při čemž souřadnice "z" je zachována.
Těleso, jehož objem počítáme, se do roviny Pxy promítne jako kruh, který bude mít nějaký poloměr - to bude horní mez pro
polární souřadnici ro , úhel fi pro rotaci okolo osy "z" bude v rozsahu (0, 2pi).

Matematické Fórum

#1 03. 04. 2011 11:54

Objem tělesa - sférické souřadnice

#2 03. 04. 2011 13:21 — Editoval PokecCZ (03. 04. 2011 13:27)

Re: Objem tělesa - sférické souřadnice

#3 03. 04. 2011 20:31

Re: Objem tělesa - sférické souřadnice

#4 04. 04. 2011 11:20 — Editoval Rumburak (04. 04. 2011 14:41)

Re: Objem tělesa - sférické souřadnice

#5 04. 04. 2011 17:33

Re: Objem tělesa - sférické souřadnice

#6 05. 04. 2011 09:45 — Editoval Rumburak (05. 04. 2011 16:06)

Re: Objem tělesa - sférické souřadnice

Zápatí