Matematické Fórum

katka88 · 04. 04. 2011 18:58

Ahoj, můžete mi někdo prosím poradit jak postupovat (nebo rovnou postup napsat :-) ) při výpočtu tohoto určitého integrálu? Předem moc děkuju...

claudia

Obecně to lze řešit Eulerovou substitucí, ale tento příklad přímo vybízí provést drobnou úpravu a použít substituci:

Pro $x\in$0,1$$ platí

$x^2+2+2\sqrt{x^2+1}=x^2+1+2\sqrt{x^2+1}+1=\sqrt{x^2+1}^2+2\sqrt{x^2+1}+1^2=$\sqrt{x^2+1}+1$^2$

Dále je to jasné?

$t=\sqrt{x^2+1},\; \mathrm{d}t=\frac{x}{2\sqrt{x^2+1}}\mathrm{d}x=\frac{x}{2t}\mathrm{d}x$

$\int \frac{x}{$\sqrt{x^2+1}+1$^2}\ \mathrm{d}x =\int \frac{2t}{$t+1$^2}\ \mathrm{d}t\Bigg|_{t=\sqrt{x^2+1}}$

katka88 · 04. 04. 2011 20:01

↑ claudia:
Moc děkuju :-) a dál to mám zintegrovat rozkladem na parciální zlomky? Nebo jak se s tím vypořádat?

claudia · 04. 04. 2011 20:10

Ano.

$\int \frac{2t}{$t+1$^2}\ \mathrm{d}t &=2\int \frac{t}{$t+1$^2}\ \mathrm{d}t =2\int \frac{t+1-1}{$t+1$^2}\ \mathrm{d}t =2$\int \frac{t+1}{\(t+1$^2}\ \mathrm{d}t-\int \frac{1}{$t+1$^2}\ \mathrm{d}t\) =\\&=2$\int \frac{1}{t+1}\ \mathrm{d}t-\int \frac{1}{\(t+1$^2}\ \mathrm{d}t\)$

katka88 · 04. 04. 2011 20:48

↑ claudia:
Díky že mi tak pomáháš, ale jsem tak hloupá, že mi to pořád nevychází :( zintegrovala jsem to jako 2*( ln (t+1) - ln (t+1)^2 ), dosadila jsem přepočítanou mez (tedy 1 a sqrt(2) ), vyšlo mi to nějak okolo -3, ale má to vyjít 0,1024... Kde dělám chybu?

da.backer

↑ katka88:

$2ln (t+1) + 2*(1/(t+1))$

katka88 · 04. 04. 2011 21:13

↑ da.backer:
nechápu jak jsi na to přišel, můžeš vysvětlit? :-)

claudia

↑ katka88:

Není mi jasné, jak jsi k tomu výsledku přišla. Kdyby sis zkusila napsat postup, pravděpodobně bys našla i chybu :-)

↑ katka88:

Můžeš provést substituci $u=t+1,\;\mathrm{d}u=\mathrm{d}t$ , pak

$\int \frac{1}{t+1}\ \mathrm{d}t&=\int u^{-1}\ \mathrm{d}u\Bigg|_{u=t+1}=\ln u + C\\ \int \frac{1}{$t+1$^2}\ \mathrm{d}t&=\int u^{-2}\ \mathrm{d}u\Bigg|_{u=t+1}=-u^{-1}+C$

da.backer

↑ katka88:

TAk to první mám jako ty a to druhé je integrované

$\frac{1}{$t+1$^2}$ čili $(t+1)^-2$ a dle vzorce $\frac{(t+1)^-1}{-1}$ dej si za to t+1 substituci a pujde to ;)

EDIT: Tak jak píše claudia :) omlouvám se za vstup, netušil jsem že tu jěště někdo radí takhle večer :)

Matematické Fórum

#1 04. 04. 2011 18:58

Určitý integrál, nevím jak postupovat

#2 04. 04. 2011 19:35 — Editoval claudia (04. 04. 2011 19:54)

Re: Určitý integrál, nevím jak postupovat

#3 04. 04. 2011 20:01

Re: Určitý integrál, nevím jak postupovat

#4 04. 04. 2011 20:10

Re: Určitý integrál, nevím jak postupovat

#5 04. 04. 2011 20:48

Re: Určitý integrál, nevím jak postupovat

#6 04. 04. 2011 20:57 — Editoval da.backer (04. 04. 2011 20:58)

Re: Určitý integrál, nevím jak postupovat

#7 04. 04. 2011 21:13

Re: Určitý integrál, nevím jak postupovat

#8 04. 04. 2011 21:25 — Editoval claudia (04. 04. 2011 21:27)

Re: Určitý integrál, nevím jak postupovat

#9 04. 04. 2011 21:27 — Editoval da.backer (04. 04. 2011 21:37)

Re: Určitý integrál, nevím jak postupovat

Zápatí