Matematické Fórum

numenou · 05. 04. 2011 15:19

prosim cas ako mam odvodit nieco taketo? $sin^6x$ pripadne $cos^6x$ a podobne mocniny ako na to mam ist?

dakujem

Raduse73 · 05. 04. 2011 15:23

numenou · 05. 04. 2011 15:35

neviem ako sa napriklad z $cos^6x$ dostat k vysledku

nechce mi to vyjst to iste zo sinom ale tam je len rozdiel znamienku pripadne sin^5 cos^5 apod

Olin · 05. 04. 2011 16:09

Jedna možnost je postupovat třeba takto:

$\cos^6 x = \left (\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x}}{2} \right )^6 = \frac{1}{2^6}\left ( {\color{red}\mathrm{e}^{6\mathrm{i}x}} + {\color{blue}6 \mathrm{e}^{4\mathrm{i}x}} + {\color{green}15 \mathrm{e}^{2\mathrm{i}x}} + 20 + {\color{green}15\mathrm{e}^{-2\mathrm{i}x}} + {\color{blue}5 \mathrm{e}^{-4\mathrm{i}x}} + {\color{red}\mathrm{e}^{-6\mathrm{i}x}} \right ) = \\ = \frac{1}{2^6} \left ( {\color{red}2 \cos 6x} + {\color{blue}12 \cos 4x} + {\color{green}30 \cos 2x} + 20 \right )$

numenou · 05. 04. 2011 16:12

↑ Olin:

prosim ta a iny sposob? tomuto nechapem

Raduse73 · 05. 04. 2011 18:04

↑ numenou:

Je i jiný z goniometrických vzorců $sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}$
$cos^2x=\frac{1+cos2x}{2}$

$sin^2kx=\frac{1-cos2kx}{2}$
$cos^2kx=\frac{1+cos2kx}{2}$

$sin^6x=(sin^2x)^3=(\frac{1-cos2x}{2})^3$ umocní se a znovu použijí vzorce

Raduse73 · 05. 04. 2011 18:05

↑ numenou:

K čemu to potřebujete?

numenou · 05. 04. 2011 18:06

↑ Raduse73:

dakujem pekne a prosim ta napriklad sin^3 a cos^3, sin^5 a cos^5

Raduse73 · 05. 04. 2011 18:56

↑ numenou:

Na to jsou vzorce třeba tady http://maths.cz/clanky/goniometricke-vzorce.html

Součiny goniometrických funkcí:

$* \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} [\cos (\alpha - \beta) - \cos (\alpha + \beta)]$
$* \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta)]$
$* \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\sin (\alpha - \beta) + \sin (\alpha + \beta)]$
$* \mathrm{tg} \alpha \mathrm{tg} \beta = \frac{\mathrm{tg} \alpha + \mathrm{tg} \beta}{\mathrm{cotg} \alpha + \mathrm{cotg} \beta}$