Matematické Fórum

radeek · 05. 04. 2011 19:00

mam zadany dve zobrazeni

A: P2->P1
$A(ax^2+bx+c) = (a+b+2c)x + (2a-b+c)$

B: P1->P2
$B(ax+b) = (a+b)x^2 + (2a-b)x + (-a+b)$

a mam zjistit, zda je zobrazeni C proste:

vim, ze nejprve je treba slozit zobrazeni C, coz nevim jak, kdyz v A jsou ty druhe mocniny a v B nejsou a naopak, poradil by nekdo? diky

LukasM · 05. 04. 2011 19:04 — Editoval LukasM (05. 04. 2011 19:06)

↑ radeek:
Zobrazení B sežere polynom (nejvýše) prvního stupně, a vypadne z něj polynom (nejvýše) druhého stupně. Tento polynom předhodíme zobrazení A, které ho sežere, a vypadne z něj polynom (nejvýše) prvního stupně.

Edit: odeslal jsem to omylem předčasně, když jsem tu hledal tužku, takže ještě něco. Označ si nějakými jinými písmenky koeficienty toho "mezipolynomu", ať je nemáš označeny stejně jako koeficienty toho prvního.

radeek · 05. 04. 2011 21:54

takze ja $(a+b)x^2$ z B nahradim misto $x^2$ v A, apod. takze mi pak vyjde

$C(a(a+b)x^2 + 2(2a-b)bx + c)=...$ ??

LukasM · 08. 04. 2011 09:07 — Editoval LukasM (08. 04. 2011 09:08)

↑ radeek:
Promiň, teď jsem tu nějakou dobu nebyl, škoda že se tě neujal někdo jiný.

Tomu co píšeš moc nerozumím. Mělo by to vypadat nějak takhle, když to rozepíšu:

$C(ax+b)=A(B(ax+b))=A((a+b)x^2+(2a-b)x+(-a+b))$

No, a jak zobrazuje zobrazení A to už víme ze zadání. Jde jen o to nezamotat se do značení. Co tedy to zobrazení A dělá? Tvoří polynom nejvýše druhého stupně, a to tak, že vezme součet kvadratického a lineárního členu toho původního polynomu, přičte dvojnásobek absolutního členu, a tohle číslo prohlásí za lineární člen nového polynomu. Podobně vytvoří absolutní člen.

Takže pokud mu předhodíme polynom $ax^2+bx+c$ , dostaneme zpátky $(a+b+2c)x+(2a-b+c)$ . Co tedy dostaneme, když mu předhodíme to co mu předhazujeme?

radeek · 08. 04. 2011 11:38

no tak takhle bychom meli dostat:

$((2a-b)+(a+b)+2(-a+b))x + (2(a+b)-(2a-b)+(-a+b))$

takze zobrazeni C by melo vypadat:

$C(ax+b)=(a+b)x + (-a+4b)$

je to tak?

LukasM · 08. 04. 2011 13:15

↑ radeek:
Skoro. První řádek je v pořádku, akorát jsi to pak špatně posčítal. U x by mělo být (a+2b). Princip ale podle všeho chápeš.

radeek · 08. 04. 2011 14:43

pravda, pravda, spatne poscitano

takhle je to spravne

$C(ax+b)=(a+2b)x + (-a+4b)$

nyni chci zjistit, zda je zobrazeni proste, k tomu tedy budu muset pocitat jadro zobrazeni a pokud bude jadno nulove, je zobrezeni proste, nemylim-li se

ted si ale nejsem jist, jak postupovat, pokud ma zobrazeni jen tvar ax+b?

LukasM · 08. 04. 2011 17:12

↑ radeek:
Ano, vzhledem k tomu, že zobrazení je lineární je to přesně tak, stačí zjistit jak vypadá jádro. Jinak jádro je množina, takže nevím nakolik je v pořádku výraz "jádro je nulové" - to bych asi spíše říkal kdyby to bylo číslo. To píšu jen aby sis uvědomil že to je množina.

Co to vůbec je jádro, když už jsme u toho? Když nad tím trochu popřemýšlíš, tak už to dopočítáš bez pomoci.

radeek · 10. 04. 2011 14:45

no takze ze soustavy rovnic

$x^1 : a+2b = 0$
$x^0 : -a+4b = 0$

dostavam jedine reseni,a to $a = 0, b = 0$

takze zobrazeni je proste.

LukasM · 10. 04. 2011 16:25 — Editoval LukasM (10. 04. 2011 16:25)

↑ radeek:
Přesně tak. Pokud má být ten obraz nulový (aby byl původní polynom v jádře), musí být nulový jak jeho lineární, tak jeho absolutní člen. Jak vidíme, to se může stát jedině v případě, že a=b=0, tedy když je ten původní polynom nulový. Proto v jádře leží pouze nulový polynom, a díky linearitě toho zobrazení z toho už plyne jeho prostota.

radeek · 11. 04. 2011 19:30

diky za pomoc :)

Matematické Fórum

#1 05. 04. 2011 19:00

Linearni zobrazeni - skladani, prostost

#2 05. 04. 2011 19:04 — Editoval LukasM (05. 04. 2011 19:06)

Re: Linearni zobrazeni - skladani, prostost

#3 05. 04. 2011 21:54

Re: Linearni zobrazeni - skladani, prostost

#4 08. 04. 2011 09:07 — Editoval LukasM (08. 04. 2011 09:08)

Re: Linearni zobrazeni - skladani, prostost

#5 08. 04. 2011 11:38

Re: Linearni zobrazeni - skladani, prostost

#6 08. 04. 2011 13:15

Re: Linearni zobrazeni - skladani, prostost

#7 08. 04. 2011 14:43

Re: Linearni zobrazeni - skladani, prostost

#8 08. 04. 2011 17:12

Re: Linearni zobrazeni - skladani, prostost

#9 10. 04. 2011 14:45

Re: Linearni zobrazeni - skladani, prostost

#10 10. 04. 2011 16:25 — Editoval LukasM (10. 04. 2011 16:25)

Re: Linearni zobrazeni - skladani, prostost

#11 11. 04. 2011 19:30

Re: Linearni zobrazeni - skladani, prostost

Zápatí