Matematické Fórum

Nich · 06. 04. 2011 09:50

Ahojte,
mám zadání:

Vypočítejte s přesností na tři desetinná místa integrál
$\int_0^{1/2}cos x^2dx$
tak, že integrovanou funkci rozložíte do mocninné řady. Prověřte platnost podmínek, které tento postup umožňují.

Můj postup:
Použil jsem na to Taylorovu řadu pro cos x (viz. click)

Takže pro cox^2 jsem dostal řadu
$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{4n}}{(2n)!}$

Integrace
$\int_0^{1/2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{4n}}{(2n)!} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n(1/2)^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}$

Když to hodím do maplu tak mi tahle řada vychází 0.4968840288, což potvrdil wolfram i maple, když v něm spočítám ten zadaný integrál, tak to vychází stejně...

Ale nevím jak z téhle řady spočítat, kolik potřebuji sečíst členů, aby to odpovídalo přesnosti na tři desetinná místa...
Vím, že se to tu řešilo, ale nějak se mi to nepovedlo nasadit na můj příklad. Mohl byste mi někdo poradit?

maly_kaja_hajnejch-Lazov

je to alternujici rada, tam je odhad chyby trivialni. Pokud me pamet neklame, tak chyba neni vetsi nez prvni vynechany clen. Ale radeji si to overte. Mozna pomuze hleda pojmy jako Leibniz ovo kriterum, prof. Dosla ma asi nekde na webu CDROM nebo skripta. Mozna http://www.math.muni.cz/~dosla/education/#materialy

EDIT: odhad chyby viz http://math.feld.cvut.cz/mt/txte/1/txc3eb1d.htm , ale byt studentem, radeji bych overil nalezenim v kvalitni tistene literature (tj treba Jarnik, ne vytistene eopory z FRVS nebo OPVK) a prostudovanim dukazu :)

Nich · 06. 04. 2011 17:57

Tak jsem se dostal o kousek dál, ale bohužel jsem to ještě nedotáh do konce...

Upravím:
$\sum_{n=0}^{N}(-1)^n\frac{1}{(2)^{4n+1}(4n+1)(2n)!}$
$\left|\sum_{n=N+1}^{\infty}(-1)^n\cdot a_n\right| < \left|a_{N+1}\right|$
$\frac{1}{2^{4N+5}(4N+5)(2N+2)!}<\frac{1}{1000}$
$2^{4N+5}(4N+5)(2N+2)!>1000$

Nevím jak z posledního řádku dostat N

maly_kaja_hajnejch-Lazov · 06. 04. 2011 18:26

asi pokus/omyl. rozresit vzhledem k N se to nepovede ...

Nich · 06. 04. 2011 19:17

aha, takže tudy cesta nevede...
Nenapadá někoho jakým způsobem spočítám tu požadovanou přesnost?

maly_kaja_hajnejch-Lazov

no zkusit tu podminkku overit pro N=3, potom pro N=4 atd ....

Nich · 07. 04. 2011 12:17

Jojo udělal sem to postupným zkoušením... dík

Matematické Fórum

#1 06. 04. 2011 09:50

Přesnost řady

#2 06. 04. 2011 09:54 — Editoval maly_kaja_hajnejch-Lazov (06. 04. 2011 09:58)

Re: Přesnost řady

#3 06. 04. 2011 17:57

Re: Přesnost řady

#4 06. 04. 2011 18:26

Re: Přesnost řady

#5 06. 04. 2011 19:17

Re: Přesnost řady

#6 06. 04. 2011 22:21 — Editoval maly_kaja_hajnejch-Lazov (06. 04. 2011 22:26)

Re: Přesnost řady

#7 07. 04. 2011 12:17

Re: Přesnost řady

Zápatí