Matematické Fórum

byk7 · 06. 04. 2011 17:15

byk7 · 06. 04. 2011 18:15

Zkusím něco svého, nechť $A$ je počátkem soustavy souřadnic, potom:
$A=[0,0], B=[18,0], C=[x,y], D=[x-6, y], E=[6,0]$
$K=\bigg[\frac x3, \frac y3\bigg], L=\bigg[\frac{2x}{3},\frac{2y}{3}\bigg], M=\bigg[\frac x3+8,\frac y3\bigg]$
odtud vidíme, že $KM\parallel AB$
$\vec v&=\ \mapsto KM=(8,0) \\ \vec u&=\ \mapsto CM=\bigg(-\frac{2x}{3}+8,-\frac{2y}{3}\bigg)$

a teď by mělo platit $\vec v\cdot\vec u=0$ což ale neplatí kvůli tomu, že $8\cdot\bigg(-\frac{2x}{3}+8\bigg)\neq 0$

Kde dělám chybu?

OiBobik

↑ byk7:

Jsi si jist, že platí $8\cdot\bigg(-\frac{2x}{3}+8\bigg)\neq 0$ ? Proč, právě naopak. Zkus využít toho, že $KM\parallel AB$ , podívat se na obrázek, vzpomenout si na to, že KLM je rovnostranný a zjistit díky tomu, jak vypadá x-ová souřadnice bodu L (chyba asi byla, žes uvažoval o x jako obecné proměnné, ale ona je už zadáním příkladu a určením souřadnicového systému jednoznačně určena).

Odtud znáš tedy x, a právě díky rovnosti, kterou jsi zavrhl, ale která by měla platit, dojdeš k důkazu oné kolmosti.

jenom Pozn: To "podívat se na obrázek" píšu jen proto, že toto je jeden z těch případů, kdy se hodí onen geometrický názor kombinovat s analytikou a nespoléhat se čistě jen na ni - dost to zjednodušuje rovnice a všechno.

byk7 · 06. 04. 2011 20:21

↑ OiBobik:

dík, to co píšeš o $x$ je pravda, ale když si obrázek načrtnu, tak určitě nedojdu k tomuto

zkrátka na náčrtek je ten lichoběžník příliš vysoký

Jinak jak to myslíš využít rovnostrannosti trojúhelníka a rovnoběžnosti přímek KM a AB?
Geometrie (včetně analytické) není moje nejsilnější stránku.

Nicméně je to pro mě přijatelnější.

OiBobik

↑ byk7:

No teď si na tom obrázku zkus spustit výšku trojúhelníku KLM (z vrcholu L), protáhnout ji až na osu x, k takovéto čáře spustit rovnoběžku z bodu K taky až na osu x, u bodu M už to máš.

Zároveň mysli speciálně na to, že |KL|=|LM| a že KM || AB || (osa x). Nedá se vyjádřit x-ová souřadnice L nějak ve vztahu k x-ovým souřadnicím bodů K,M?

A kdybys to tam přece jen (náhodou) neviděl nebo to chtěl udělat čistě analyticky, tak zkus prostě "natvrdo" řešit soustavu rovnic $|KL|=|LM|=|KM|$ (tedy zase aplikovat rovnostrannost trojúhelníka) - třeba to nebude složité (mně se to upřímně řečeno nechce teď zkoušet, tak si to ani nepíšu), každopádně z toho by ti podle mě už mělo vypadnout jak x, tak y (po aplikaci nějakých podmínek typu: x>0, y>0, hádám) - a to ti už každopádně řeší celou úlohu.

BTW: Taky moc nemusím geometrii. Poté, co jsem teď půl roku doučoval analytickou, mě dokonce opouští i nadšení pro ni (a už se jen těším na očekávanou kombinatoriku). : ))

byk7 · 06. 04. 2011 22:17

↑ OiBobik:

tvoje razení je v pořádku, takový by měly být všichni, díky, líp to člověka obohatí

jinak dá:
$x_L=\left(\frac x3+\frac x3+8\right)/2=\frac x3+4$
tedy
$\frac{2x}{3}&=\frac x3+4 \\ x/3&=4 \\ x&=12$

stejně tak pro y-ovou souřadnici
$\frac{2y}{3}&=\frac y3+\frac{\sqrt3}{2}\cdot12 \\ y&=18\sqrt3$

z toho už plyne kolmost vektorů $\vec v$ a $\vec u$ .
Stejně je potom tak jednoduché určit délky ramen.

btw: kombinatoriku já nerad :) je to pěkný obor, ale taky v něm pěkně plavu

Jinak, díky moc za pomoc, + reputace tě nemine.