Matematické Fórum

Eva22 · 07. 04. 2011 16:34

Prosím, jak vyřeším asymptotu funkce:

2x - (cos x/x) ?

Jakto, že tato funkce má i kolmou asymptotu?
Dekuji

byk7 · 07. 04. 2011 16:47 — Editoval byk7 (07. 04. 2011 16:47)

a má asymptotu?
vždyť $\forall x\in\mathbb{R}\backslash\{0\}$ je zadáná funkce $2x-\cos\left(\frac xx\right)=2x-\cos(1)$ což je lineární funkce

Eva22 · 07. 04. 2011 16:50

↑ byk7:

Asi jsem to špatně napsala: 2x -( cos x) /x .....celý výraz cos x je dělen x, ne jen x/x
Děkuji

jrn · 07. 04. 2011 16:51

možná má na mysli tento zápis $2x - \frac {cosx} {x}$

OiBobik · 07. 04. 2011 16:57

↑ Eva22:

co je to kolmá asymptota?

Jinak zde je snad vše, co bys tak mohla chtít vědět o asymptotě - tedy počítáš nějaké ty limity (viz odkaz), pokud ti vyjdou, že existují a jsou reálné, tak vyšetřovaná asymptota existuje, jinak ne.

Eva22 · 07. 04. 2011 17:01

↑ OiBobik:
Mám tím na mysli asymptotu bez směrnice.

Vím, jak se asymptoty počítají, jen tento příklad mi ne a ne vyjít:(

OiBobik

↑ Eva22:

Tak začněme některou se směrnicí, dejme tomu v $+ \infty$ :

$a=\lim_{x \to \infty} \frac{2x-\frac{cos x}{x}}{x}$ - to víš, jak spočítat? Napovím: věta o aritmetice limit + "omezená krát nulová".

Co se týče té bez směrnice - ta může existovat, pokud v některém bodě není funkce definována. Je nějaký takový bod?

byk7 · 07. 04. 2011 17:11 — Editoval byk7 (07. 04. 2011 17:16)

↑ Eva22:
kolmou asymptotu má díky tomu, že není v bodě $x_0=0$ definovaná, proto přímka $p:\ x=0$ je asymptotou bez směrnice

k těm směrnicím
$a&=\lim_{x\to\infty}\frac{2x-\frac{\cos(x)}{x}}{x}=2 \\ b&=\lim_{x\to\infty}\left(\left(2x-\frac{\cos(x)}{x}\right)-2x\right)=0$

OiBobik · 07. 04. 2011 17:14

↑ byk7:

To se musí ještě ověřit. protipříklad: $g(x)=\frac{x^2}{x}$ . Ta taky není definovaná v nule a nemá tam asymptotu bez směrnice.

byk7 · 07. 04. 2011 17:16

↑ OiBobik: aha pravda

Eva22 · 07. 04. 2011 17:20

↑ OiBobik:

Upravdila jsem vzorec, jenže pak jsem právě nevěděla, jak zjistit limity tohoto výrazu....
A kde není definována? No já právě mám výsledky, takže vím, že je to 0, ale sama bych na to nepřišla:(

OiBobik

↑ Eva22:

Není definována v nule, protože nulou nelze dělit.

Postup výpočtu té první:

$a=\lim_{x \to \infty} \frac{2x-\frac{\cos x}{x}}{x}=(\text{dle aritmetiky limit})=\lim_{x \to \infty}2-\lim_{x \to \infty}\frac{\cos x}{x^2}=\\=(\cos\text{ je omezený, }\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^2}=0)=2-0=2$

byk7 · 07. 04. 2011 17:35

Jen taková poznámka k sazbě, zpravidla se funkce (apod.) píše "bez toho matematické zakřivení",
tím docílíš toho, že před "cos" napíšeš zpětné lomítko, ale ber to jenom jako radu

$a&=\lim_{x \to \infty} \frac{2x-\frac{\cos x}{x}}{x}=(\text{dle aritmetiky limit})=\lim_{x \to \infty}2-\lim_{x \to \infty}\frac{\cos x}{x^2}=\\ &=(\cos\text{ je omezený, }\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^2}=0)=2-0=2$

OiBobik · 07. 04. 2011 17:37

↑ byk7:

Stihl jsem to opravit dvě minuty před připomínkou : )) Jo, díky, já to vím, jen na to pořád zapomínám.

OiBobik · 07. 04. 2011 17:44

↑ Eva22:

No ale zpět k tématu, předpokládám, že tu druhou asymptotu bez směrnice už dopočítáš (to b jsem ani nepsal, k tomu, co napsal ↑ byk7:, už asi těžko ještě něco dodávat), takže k té bez směrnice:

Asymptota bez směrnice v bodě $a$ existuje, jestliže funkce není v bodě $a$ definována a navíc platí $\lim_{x \to a_{+}}f(x)=\pm \infty$ nebo $\lim_{x \to a_{-}}f(x)=\pm \infty$ . Prakticky to potom ověřuješ tak, že vyšetříš obě tyto jednostranné limity v nule - a podle toho poznáš, jak a kde se ti přimyká funkce k asymptotě (a zda tam vůbec asymptota existuje).

Eva22 · 07. 04. 2011 19:16

↑ byk7:

Aha, děkuji, takhle už to chápu. Jen prosím ještě, jak přijdu na to, že cos x / x^2 je 0? Omlouvám se za stupidní dotazy, ale studuji dálkově, takže nic neprobíráme a já pak nechápu základy. Děkuji moc.

byk7 · 07. 04. 2011 19:47 — Editoval byk7 (07. 04. 2011 19:47)

↑ Eva22:
$\lim_{x\to\infty}\frac{\cos(x)}{x^2}=\lim_{x\to\infty}$\cos(x)\cdot\frac{1}{x^2}$=\lim_{x\to\infty}\cos(x)\cdot\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}=\lim_{x\to\infty}\cos(x)\cdot0=0$

btw: já zas ještě nejsem ani na střední škole :)

jarrro · 07. 04. 2011 20:03 — Editoval jarrro (07. 04. 2011 20:04)

↑ byk7:to by som nepísal $\lim_{x\to\infty}{\cos{x}}$ neexistuje tak ju nemôžeš len tak vyňať,ale stačí si uvedomiť ,že cos je ohraničený a teda v súčine s funkciou idúcou k nule ide k nule alebo odhad
$0\leq\left|\frac{\cos{x}}{x^2}\right|\leq \frac{1}{x^2}$ a uvedomenie si,že absolútna hodnota ide k nule práve vtedy keď hodnota ide k nule

byk7 · 07. 04. 2011 20:05

↑ jarrro: tak jsem to myslel, ale nechtělo se mi to rozepisovat

Matematické Fórum

#1 07. 04. 2011 16:34

asymptota

#2 07. 04. 2011 16:47 — Editoval byk7 (07. 04. 2011 16:47)

Re: asymptota

#3 07. 04. 2011 16:50

Re: asymptota

#4 07. 04. 2011 16:51

Re: asymptota

#5 07. 04. 2011 16:57

Re: asymptota

#6 07. 04. 2011 17:01

Re: asymptota

#7 07. 04. 2011 17:11 — Editoval OiBobik (07. 04. 2011 17:11)

Re: asymptota

#8 07. 04. 2011 17:11 — Editoval byk7 (07. 04. 2011 17:16)

Re: asymptota

#9 07. 04. 2011 17:14

Re: asymptota

#10 07. 04. 2011 17:16

Re: asymptota

#11 07. 04. 2011 17:20

Re: asymptota

#12 07. 04. 2011 17:29 — Editoval OiBobik (07. 04. 2011 17:33)

Re: asymptota

#13 07. 04. 2011 17:35

Re: asymptota

#14 07. 04. 2011 17:37

Re: asymptota

#15 07. 04. 2011 17:44

Re: asymptota

#16 07. 04. 2011 19:16

Re: asymptota

#17 07. 04. 2011 19:47 — Editoval byk7 (07. 04. 2011 19:47)

Re: asymptota

#18 07. 04. 2011 20:03 — Editoval jarrro (07. 04. 2011 20:04)

Re: asymptota

#19 07. 04. 2011 20:05

Re: asymptota

Zápatí