Matematické Fórum

rimer · 08. 04. 2011 17:50 — Editoval rimer (08. 04. 2011 17:51)

Zdravim,
ako mozem previest postupnost danu vzorcom napr $$\frac n {n+1}$_{n=1}^\infty$ na postupnost danu rekurentne?

Pavel · 08. 04. 2011 18:31

Nechť

$a_n=\frac{n}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=1-\frac 1{n+1}\,.$

Pak

$\frac 1{n+1}&=1-a_n\\ \frac 1{n}&=1-a_{n-1}.$

Nyní obě identity vydělíme:

$\frac{\frac 1{n+1}}{\frac 1{n}}&=\frac{1-a_n}{1-a_{n-1}}\\ \frac{n}{n+1}&=\frac{1-a_n}{1-a_{n-1}}\,.$

Na levé straně je předpis pro n-tý člen, tzn.

$a_n&=\frac{1-a_n}{1-a_{n-1}}\\ 1-a_{n-1}&=\frac{1-a_n}{a_n}\\ 1-a_{n-1}&=\frac{1}{a_n}-1\\ \color{blue}\frac{1}{2-a_{n-1}}&\color{blue}=a_n$

rimer · 08. 04. 2011 18:35 — Editoval rimer (08. 04. 2011 18:36)

dakujem v knihe je vysledok takto $a_{n+1}=a_n\cdot\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}$ ako sa doslo k tomu to vysledku?

jarrro · 08. 04. 2011 18:39 — Editoval jarrro (08. 04. 2011 18:48)

asi najpriamočiarejšie $a_{n+1}-a_{n}=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$
resp. $k_1a_{n+r}+k_2a_{n+r-1}+\cdots+k_{r+1}a_{n}=k_1\frac{n+r}{n+r+1}+k_2\frac{n+r-1}{n+r}+\cdots+k_{r+1}\frac{n}{n+1}$
kde k_i sú ľubovoľné postupnosti
má to nekonečne veľa možností rekurentného vyjadrenia
ten tvoj výsledok je ekvivalentný vzťahu $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\quad\frac{n+1}{n+2}\quad}{\quad\frac{n}{n+1}\quad}=\frac{\left(n+1\right)^2}{n\left(n+2\right)}$
ak to má mať len jeden stupeň rekurzie tak asi najvšeobecnejší je
$f{\left(a_{n+1},a_{n}\right)}=f{\left(\frac{n+1}{n+2},\frac{n}{n+1}\right)}$ ,kde f je ľubovoľná funkcia dvoch premenných