Matematické Fórum

skalpik · 27. 05. 2008 21:33

co takováhle řada?
$\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(n+1)!}(1!+2!+ ... +n!)$
na leibnitze potřebuju ukázat že limita podilu tech faktorialu je 0 na Abela mam $\frac{1}{(n+1)}$ konverguje a za mam ukazat ze konverguje $\frac{(-1)^n(1!+2!+...+n!)}{n!}$

Tomsus · 28. 05. 2008 00:22 — Editoval Tomsus (28. 05. 2008 00:23)

vyjadruj se trochu exaktne:

pro Leibnizovo kriterium potrebujes ukazat, ze ta posloupnost $\frac{1}{(n+1)!}(1!+2!+ ... +n!)$ konverguje k nule a je monotonni

pro Abelovo kriterium potrebujes ukazat, ze posloupnost $\frac{1}{(n+1)}$ je konvergentni a monotonni a $\sum_{1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(n)!}(1!+2!+ ... +n!)$ také konverguje

xificurC · 28. 05. 2008 01:32

↑ Tomsus:
Zeby Abel chcel, aby obe konvergovali? :) Od jednej chce konvergentnost a od druhej monotonnost a ohranicenost, ak sa nemylim.

xificurC

Dokazat to neviem, no zda sa, ze to bude spravne: Tvoje (1!+2!+...+n!)/n! je zhora ohranicene, teda stacilo by dokazat, ze sa da zhora ohranicit konkretnym cislom (napr. 2) a potom cez porovnavacie kriterium a Lebniza mas vysledok...
Edit: Hehe, este som sa hrajkal a mat. indukciou mi vyslo, ze (1!+2!+...+n!)/n! je mensie-rovne ako 2 a potom cela habadura je mensia-rovna ako $2\cdot \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1}$ , co je uz len Leibniz...

skalpik · 28. 05. 2008 12:22

↑ Tomsus: Tak s tou monotonií je to jasný, ne? já jen psal co potřebuju dokázat a co mi nejde...takže díky

Tomsus · 28. 05. 2008 19:16

↑ xificurC:

Abel rika, ze kdyz $(a_n)$ konverguje a je monotonni a $\sum_{n=1}^{+\infty}b_n$ konverguje, tak rada $\sum_{n=1}^{+\infty}a_nb_n$ konverguje

Marian · 29. 05. 2008 14:20

↑ xificurC:

Dokonce lze dokazat o neco silnejsi tvrzeni, nez to tvoje, ale zadarmo to neni, tedy ve smyslu, ze se pouzije mene trivialni prostredek nez matematicka indukce, nicmene aplikace je pravdepodobne mnohem snazsi. Plati totiz (podle Stolzovy vety, jejiz predpoklady jsou splneny u nasledujici limity)

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n!}\sum_{j=1}^{n}j! =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n+1)!-n!}\left (\sum_{j=1}^{n+1}j!-\sum_{j=1}^{n}j!\right )=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=1,$

odkud se da take pomerne rychle rici to, co tvrdis, tedy, ze studovany vyraz je mensi-roven 2. Dale pak srovnavaci a Leibnizovo kriterium davaji konvergenci puvodni rady.

xificurC · 29. 05. 2008 14:47

↑ Tomsus:
Tak sry, my sme v skole brali, ze staci, aby bola monotonna a ohranicena, konvergencia je zase silnejsia poziadavka, teda neviem, ako to ma byt :) Kazdopadne este raz sry ;) Ako to teda bude napr. s takou radou sin n / n^2 ? Viem, ze staci porovnavacie kriterium a hotovo, ale splna takato rada abelove podmienky alebo nie?

↑ Marian:
Diky za doplnenie :)

Tomsus · 29. 05. 2008 17:29

↑ xificurC:

Ach soooooo.... Monotoni a ohranicena --> konvergentni :-)

Tomsus · 29. 05. 2008 17:35 — Editoval Tomsus (29. 05. 2008 17:49)

Jo, a rada sin n / n^2 je absolutne konvergentni - nesplnuje Abelovy podminky - protoze sin n neni konvergentni, ale protoze |sin n|<=1 pro vsechna n, da se to srovnat s 1/n^2 a ta konverguje. O malinko je zajimavejsi (sin n) / n, ta konverguje neabsolutne - protoze rada sin n ma omezenou posloupnost castecnych souctu a 1/n --> 0, tak podle Dirichleta - jo, na to jsem chtel narazit - ze Abelovo kriterium je vlastne takova modifikace Dirichletova kriteria

Marian · 29. 05. 2008 19:18 — Editoval Marian (29. 05. 2008 19:20)

Pro zainteresovane si dovolim jeste jednu drobnou poznamku o sume rady

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n}.$

Plati totiz identita

$\boxed{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin n}{n}=\frac{\pi -1}{2}.}$

↑ Tomsus:
Co to znamena "Ach sooooooo ....". Mam to chapat nemecky? Tedy "Ach taaaaaaak ...."?

Tomsus · 29. 05. 2008 20:25

↑ Marian:

Ano, je to "ach taaaaak". Jenom mi to konecne doslo :-)

je to zvlastni, jak casto se objevuji cisla jako pi, e, zlaty rez - treba ten soucet sin n/n (o tom jsem nevedel), soucet rady 1/n^2 je zas pi^2/6, nebo tak nejak. Takove zvlastni, az dokonce iracionalni cislo a takovy potencial :-)

Matematické Fórum

#1 27. 05. 2008 21:33

Nekonečná řada

#2 28. 05. 2008 00:22 — Editoval Tomsus (28. 05. 2008 00:23)

Re: Nekonečná řada

#3 28. 05. 2008 01:32

Re: Nekonečná řada

#4 28. 05. 2008 01:43 — Editoval xificurC (28. 05. 2008 02:09)

Re: Nekonečná řada

#5 28. 05. 2008 12:22

Re: Nekonečná řada

#6 28. 05. 2008 19:16

Re: Nekonečná řada

#7 29. 05. 2008 14:20

Re: Nekonečná řada

#8 29. 05. 2008 14:47

Re: Nekonečná řada

#9 29. 05. 2008 17:29

Re: Nekonečná řada

#10 29. 05. 2008 17:35 — Editoval Tomsus (29. 05. 2008 17:49)

Re: Nekonečná řada

#11 29. 05. 2008 19:18 — Editoval Marian (29. 05. 2008 19:20)

Re: Nekonečná řada

#12 29. 05. 2008 20:25

Re: Nekonečná řada

Zápatí